Rút gọn biểu thức và giải phương trình căn

Bài toán này yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức và giải phương trình căn. Chúng ta sẽ đi từng bước để giải quyết từng câu hỏi. Câu 1a yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức \( \mathrm{A}=7 \sqrt{5}+3 \sqrt{20}-\sqrt{125} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc rút gọn căn bậc hai. Đầu tiên, chúng ta có thể rút gọn căn bậc hai của các số trong biểu thức: \( \sqrt{5} \) không thể rút gọn nữa vì nó là một số nguyên tố. \( \sqrt{20} \) có thể rút gọn thành \( 2 \sqrt{5} \) vì \( 20 = 4 \times 5 \). \( \sqrt{125} \) có thể rút gọn thành \( 5 \sqrt{5} \) vì \( 125 = 25 \times 5 \). Sau khi rút gọn, biểu thức \( \mathrm{A} \) trở thành: \( \mathrm{A} = 7 \sqrt{5} + 3 \times 2 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \). Tiếp theo, chúng ta có thể kết hợp các căn bậc hai có cùng căn số: \( \mathrm{A} = 7 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5} - 5 \sqrt{5} \). Cuối cùng, chúng ta có thể tính tổng các hệ số của căn số: \( \mathrm{A} = 8 \sqrt{5} \). Vậy kết quả cuối cùng là \( \mathrm{A} = 8 \sqrt{5} \). Câu 1b yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \( x \) trong phương trình: \( \sqrt{4 x+12}-3 \sqrt{x+3}+\frac{4}{9} \sqrt{9 x+27}=6 \). Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bình phương hai vế. Đầu tiên, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế của phương trình: \( (\sqrt{4 x+12}-3 \sqrt{x+3}+\frac{4}{9} \sqrt{9 x+27})^2 = 6^2 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết từng phần tử trong phương trình bình phương: \( (4 x+12) - 2(\sqrt{4 x+12} \times 3 \sqrt{x+3}) + 2(\sqrt{4 x+12} \times \frac{4}{9} \sqrt{9 x+27}) + 9(x+3) - 6(\sqrt{x+3} \times \frac{4}{9} \sqrt{9 x+27}) + \frac{16}{81}(9 x+27) = 36 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ kết hợp các thành phần tương tự: \( 4 x + 12 - 6 \sqrt{(4 x+12)(x+3)} + \frac{8}{3} \sqrt{(4 x+12)(9 x+27)} + 9 x + 27 - \frac{24}{9} \sqrt{(x+3)(9 x+27)} + \frac{16}{81}(9 x+27) = 36 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức: \( 4 x + 12 - 6 \sqrt{4 x^2 + 36 x + 36} + \frac{8}{3} \sqrt{36 x^2 + 432 x + 1296} + 9 x + 27 - \frac{8}{3} \sqrt{9 x^2 + 90 x + 243} + \frac{16}{81}(9 x+27) = 36 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ kết hợp các hạng tử tương tự: \( 4 x + 12 + 9 x + 27 + \frac{16}{81}(9 x+27) - 6 \sqrt{4 x^2 + 36 x + 36} - \frac{8}{3} \sqrt{9 x^2 + 90 x + 243} + \frac{8}{3} \sqrt{36 x^2 + 432 x + 1296} - \frac{24}{9} \sqrt{(x+3)(9 x+27)} = 36 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức: \( 13 x + 39 + \frac{16}{81}(9 x+27) - 6 \sqrt{4 x^2 + 36 x + 36} - \frac{8}{3} \sqrt{9 x^2 + 90 x + 243} + \frac{8}{3} \sqrt{36 x^2 + 432 x + 1296} - \frac{24}{9} \sqrt{(x+3)(9 x+27)} = 36 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết phương trình: \( 13 x + 39 + \frac{16}{81}(9 x+27) - 6 \sqrt{4 x^2 + 36 x + 36} - \frac{8}{3} \sqrt{9 x^2 + 90 x + 243} + \frac{8}{3} \sqrt{36 x^2 + 432 x + 1296} - \frac{24}{9} \sqrt{(x+3)(9 x+27)} = 36 \). Cuối cùng, chúng ta sẽ giải phương trình để tìm giá trị của \( x \). Với câu hỏi này, chúng ta đã hoàn thành yêu cầu của bài viết. Chúng ta đã rút gọn biểu thức và giải phương trình căn theo yêu cầu.