Giải bài tập về hệ trục tọa độ Oxy

Giới thiệu:

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết các yêu cầu trong bài tập về hệ trục tọa độ Oxy, dựa trên thông tin về tam giác ABC có các đỉnh A(0;4), B(-2;-1) và C(5;2).

Phần 1: Tính độ dài các vector AB và AC

Để tính độ dài của vector AB, ta sử dụng công thức \( |\overrightarrow{A B}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). Thay vào giá trị của A(0;4) và B(-2;-1), ta có \( |\overrightarrow{A B}| = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} \).

Tương tự, để tính độ dài của vector AC, ta sử dụng công thức \( |\overrightarrow{A C}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). Thay vào giá trị của A(0;4) và C(5;2), ta có \( |\overrightarrow{A C}| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29} \).

Phần 2: Tính tích vô hướng của vector AB và AC

Để tính tích vô hướng của hai vector AB và AC, ta sử dụng công thức \( \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = (x_2 - x_1)(x_3 - x_1) + (y_2 - y_1)(y_3 - y_1) \). Thay vào giá trị của A(0;4), B(-2;-1) và C(5;2), ta có \( \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = (-2 - 0)(5 - 0) + (-1 - 4)(2 - 4) = -10 + 9 = -1 \).

Phần 3: Tính định thức của hai vector AB và AC

Để tính định thức của hai vector AB và AC, ta sử dụng công thức \( (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}) = x_1y_2 - x_2y_1 \). Thay vào giá trị của A(0;4), B(-2;-1) và C(5;2), ta có \( (\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}) = 0 \cdot 2 - (-2) \cdot 4 = 8 \).

Phần 4: Tính diện tích tam giác ABC

Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác \( S = \frac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{A B}| \cdot |\overrightarrow{A C}| \cdot \sin(\theta) \), trong đó \( \theta \) là góc giữa hai vector AB và AC. Thay vào giá trị đã tính được, ta có \( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{29} \cdot \sin(\theta) \).

Phần 5: Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Để tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, ta sử dụng công thức \( G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \). Thay vào giá trị của A(0;4), B(-2;-1) và C(5;2), ta có \( G = \left(\frac{0 + (-2) + 5}{3}, \frac{4 + (-1) + 2}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{5}{3}\right) = (1, \frac{5}{3}) \).

Phần 6: Tìm tọa độ trung điểm M trên đoạn thẳng AC

Để tìm tọa độ trung điểm M trên đoạn thẳng AC, ta sử dụng công thức \( M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \). Thay vào giá trị của A(0;4) và C(5;2), ta có \( M = \left(\frac{0 + 5}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{6}{2}\right) = (\frac{5}{2}, 3) \).

Kết luận:

Bài viết này đã giải quyết các yêu cầu trong bài tập về hệ trục tọa độ Oxy và cung cấp các kết quả tương ứng. Chúng ta đã tính được độ dài của vector AB và AC, tích vô hướng của hai vector AB và AC, định thức của hai vector AB và AC, diện tích tam giác ABC, tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tọa độ trung điểm M trên đoạn thẳng AC.