Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến dãy số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh một bất đẳng thức quan trọng liên quan đến dãy số. Bất đẳng thức này có dạng: \[ \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} \] Trước khi chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta cần hiểu rõ về dãy số và các phép toán liên quan. Dãy số được xác định bởi công thức: \[ a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \] với \(n\) là số nguyên dương không nhỏ hơn 2. Ta có thể thấy rằng dãy số này giảm dần khi \(n\) tăng lên. Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức ban đầu. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh phần bên trái của bất đẳng thức: \[ \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Giả sử bất đẳng thức trên đúng với \(n = k\), tức là: \[ \sqrt{k} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} \] Ta cần chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với \(n = k+1\), tức là: \[ \sqrt{k+1} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \] Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng giả thiết quy nạp và chứng minh rằng: \[ \sqrt{k+1} < \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \] Bằng cách bình phương cả hai vế của bất đẳng thức, ta có: \[ k+1 < k + 2\sqrt{k} + \frac{1}{k+1} \] Simplifying this inequality, we get: \[ k+1 < k+1 + 2\sqrt{k} + \frac{1}{k+1} \] which is true. Therefore, the inequality holds for \(n = k+1\). Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh phần bên phải của bất đẳng thức: \[ \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} \] Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp. Giả sử bất đẳng thức trên đúng với \(n = k\), tức là: \[ \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} < 2\sqrt{k} \] Ta cần chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với \(n = k+1\), tức là: \[ \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k+1} \] Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng giả thiết quy nạp và chứng minh rằng: \[ \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < 2\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \] Bằng cách bình phương cả hai vế của bất đẳng thức, ta có: \[ \left(\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)^2 < \left(2\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)^2 \] Simplifying this inequality, we get: \[ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} + 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{k}}\right) < 4k + 4\sqrt{k} + \frac{1}{k+1} \] which is true. Therefore, the inequality holds for \(n = k+1\). Từ đó, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu: \[ \sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n} \] Bất đẳng thức này cho thấy rằng tổng của các phần tử trong dãy số \(a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\) nằm giữa \(\sqrt{n}\) và \(2\sqrt{n}\). Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giới hạn của dãy số và tính toán các tổng vô hạn. Trên đây là chứng minh cho bất đẳng thức liên quan đến dãy số. Bất đẳng thức này có thể được áp dụng trong nhiều bài toán khác nhau và có ý nghĩa quan trọng trong toán học.