Tìm họ nguyên hàm - Phần 1

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm của họ nguyên hàm và áp dụng nó vào bài toán cụ thể. Chúng ta sẽ xem xét bài toán sau đây: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \( F(x)=\int \frac{1}{(2 x+1)^{3}} d x \). Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số, chúng ta cần tìm một hàm số khác mà khi tích phân của nó được lấy, ta sẽ thu được hàm số ban đầu. Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm một hàm số \( f(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân bằng phép đổi biến số. Đầu tiên, chúng ta sẽ thực hiện phép đổi biến số \( u = 2x + 1 \). Khi đó, \( du = 2dx \) và \( dx = \frac{1}{2} du \). Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta có: \[ F(x) = \int \frac{1}{(2x+1)^{3}} dx = \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} du \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính nguyên hàm của \( \frac{1}{u^{3}} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc nguyên hàm của hàm số mũ. Quy tắc này cho phép chúng ta tính nguyên hàm của \( \frac{1}{u^{n}} \) với \( n

eq -1 \) bằng cách sử dụng công thức \( \int \frac{1}{u^{n}} du = \frac{1}{(1-n)u^{n-1}} \). Áp dụng quy tắc này vào bài toán của chúng ta, ta có: \[ \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(1-3)u^{3-1}} = -\frac{1}{4u^{2}} \] Cuối cùng, chúng ta sẽ thay thế lại biến số ban đầu \( u \) bằng \( 2x + 1 \). Kết quả cuối cùng là: \[ F(x) = -\frac{1}{4(2x+1)^{2}} \] Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( F(x) = \int \frac{1}{(2x+1)^{3}} dx \) là \( -\frac{1}{4(2x+1)^{2}} \). Trên đây là phần đầu tiên trong việc tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho. Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục khám phá các bài toán khác và áp dụng các phương pháp tích phân khác nhau để tìm họ nguyên hàm.