Tính độ dài đoạn thẳng MN trên elip và đường thẳng

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính độ dài đoạn thẳng MN trên một elip và đường thẳng. Yêu cầu của bài viết là tính độ dài đoạn thẳng MN khi đường thẳng $\Delta :x=-4$ cắt elip có phương trình (E): $\frac {x^{2}}{25}+\frac {y^{2}}{9}=1$ tại hai điểm M.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của hai điểm M trên elip. Đường thẳng $\Delta :x=-4$ có nghĩa là tọa độ x của các điểm trên đường thẳng này luôn là -4. Thay x = -4 vào phương trình của elip, ta có:

$\frac {(-4)^{2}}{25}+\frac {y^{2}}{9}=1$

Simplifying this equation, we get:

$\frac {16}{25}+\frac {y^{2}}{9}=1$

$\frac {y^{2}}{9}=\frac {9}{25}$

From here, we can solve for y:

$y^{2}=9 \times \frac {9}{25}$

$y^{2}=\frac {81}{25}$

$y=\pm \frac {9}{5}$

Vậy, hai điểm M trên elip có tọa độ là (-4, $\frac {9}{5}$) và (-4, $-\frac {9}{5}$).

Bây giờ, chúng ta có thể tính độ dài đoạn thẳng MN bằng cách sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:

$MN=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Thay vào giá trị của hai điểm M, ta có:

$MN=\sqrt{((-4)-(-4))^{2}+((\frac {9}{5})-(-\frac {9}{5}))^{2}}$

$MN=\sqrt{0^{2}+(\frac {18}{5})^{2}}$

$MN=\sqrt{\frac {324}{25}}$

$MN=\frac {18}{5}$

Vậy, độ dài đoạn thẳng MN trên elip và đường thẳng là $\frac {18}{5}$.