Sử dụng phép biến đổi sơ cấp để tính định thức

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính toán các định thức. Chúng ta sẽ tập trung vào hai bài toán cụ thể: định thức của ma trận \( \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}1 & t & t^{2} \\ t & 1 & t \\ t^{2} & t & 1\end{array}\right] \) và định thức của ma trận \( \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right] \). Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét bài toán đầu tiên. Để tính định thức của ma trận \( \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}1 & t & t^{2} \\ t & 1 & t \\ t^{2} & t & 1\end{array}\right] \), chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng tam giác. Bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấp, ta có thể biến đổi ma trận ban đầu thành ma trận tam giác trên. Sau đó, ta có thể tính toán định thức bằng cách nhân các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác. Trong trường hợp này, ta sẽ có: \( \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}1 & t & t^{2} \\ t & 1 & t \\ t^{2} & t & 1\end{array}\right] = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (t \cdot t \cdot t) + (t^{2} \cdot t^{2} \cdot t^{2}) - (t^{2} \cdot 1 \cdot t) - (1 \cdot t \cdot t^{2}) - (t \cdot t^{2} \cdot 1) \) Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán thứ hai. Để tính định thức của ma trận \( \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right] \), ta cũng có thể sử dụng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận về dạng tam giác. Bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấp, ta có thể biến đổi ma trận ban đầu thành ma trận tam giác trên. Sau đó, ta có thể tính toán định thức bằng cách nhân các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác. Trong trường hợp này, ta sẽ có: \( \operatorname{det}\left[\begin{array}{lll}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2}\end{array}\right] = (1 \cdot b \cdot c^{2}) + (a \cdot b^{2} \cdot 1) + (a^{2} \cdot 1 \cdot c) - (a^{2} \cdot b \cdot 1) - (1 \cdot b^{2} \cdot c) - (a \cdot 1 \cdot c^{2}) \) Trên đây là cách sử dụng phép biến đổi sơ cấp để tính toán các định thức của hai ma trận đã cho. Việc sử dụng phép biến đổi sơ cấp giúp chúng ta đưa ma trận về dạng tam giác và từ đó tính toán định thức một cách dễ dàng.