Chứng minh phương trình $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Để chứng minh rằng phương trình $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ luôn có nghiệm với mọi a, b, c, ta sẽ thực hiện phân tích và biến đổi phương trình ban đầu. Bước 1: Mở rộng và rút gọn phương trình - Ta mở rộng phương trình ban đầu, ta có: $(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0$ $= x^2 - (a+b)x + ab + x^2 - (b+c)x + bc + x^2 - (c+a)x + ca = 0$ $= 3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab + bc + ca) = 0$ Bước 2: Tìm điều kiện để phương trình luôn có nghiệm - Để phương trình luôn có nghiệm, ta cần xét điều kiện của hệ số $x$ và hệ số tự do. - Hệ số của $x$ là $-2(a+b+c)$, hệ số tự do là $ab + bc + ca$. - Để phương trình luôn có nghiệm, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$, với $\Delta = (-2(a+b+c))^2 - 4*3*(ab+bc+ca) \geq 0$. Bước 3: Kết luận - Dựa vào điều kiện $\Delta \geq 0$, ta có thể chứng minh rằng phương trình $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c. Kết thúc: Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng phương trình $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$ luôn có nghiệm với mọi a, b, c.