Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông. Chúng ta sẽ tập trung vào việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A, với ma trận A được cho như sau: \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \] Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp định thức và ma trận phụ định. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính định thức của ma trận A. Định thức của ma trận A được ký hiệu là |A| và được tính bằng cách sử dụng công thức: \[ |A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} \] Trong đó, \(a_{ij}\) là phần tử ở hàng i, cột j của ma trận A và \(C_{ij}\) là ma trận phụ định của phần tử \(a_{ij}\). Để tính ma trận phụ định \(C_{ij}\), chúng ta sẽ sử dụng công thức: \[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \] Trong đó, \(M_{ij}\) là định thức của ma trận con được tạo thành bằng cách loại bỏ hàng i và cột j khỏi ma trận A. Sau khi tính được định thức của ma trận A và ma trận phụ định của từng phần tử, chúng ta sẽ sử dụng công thức sau để tính ma trận nghịch đảo của ma trận A: \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot C^T \] Trong đó, C là ma trận chuyển vị của ma trận phụ định. Áp dụng phương pháp trên vào ma trận A đã cho, chúng ta sẽ tính được định thức của ma trận A và ma trận phụ định của từng phần tử. Sau đó, chúng ta sẽ tính ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng cách sử dụng công thức đã nêu trên. Với ma trận A đã cho, ta tính được định thức của ma trận A là |A| = 10. Tiếp theo, ta tính ma trận phụ định của từng phần tử và thu được ma trận phụ định C như sau: \[ C = \begin{pmatrix} -5 & -4 & 5 \\ -1 & -1 & 1 \\ 7 & 5 & -5 \end{pmatrix} \] Cuối cùng, ta tính ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng cách sử dụng công thức: \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot C^T = \frac{1}{10} \cdot \begin{pmatrix} -5 & -1 & 7 \\ -4 & -1 & 5 \\ 5 & 1 & -5 \end{pmatrix} \] Vậy, ma trận nghịch đảo của ma trận A là: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -0.5 & -0.1 & 0.7 \\ -0.4 & -0.1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.1 & -0.5 \end{pmatrix} \] Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về cách tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông. Chúng ta đã áp dụng phương pháp định thức và ma trận phụ định để tính ma trận nghịch đảo của ma trận A.