Phân tích và giải thích đáp án cho bài toán hình học

Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích và giải thích đáp án cho bài toán hình học có liên quan đến hình vuông \(ABCD\) và điểm đối xứng \(E\) của \(D\) qua đường thẳng \(AB\). Yêu cầu của bài toán là xác định đúng mệnh đề đúng trong số các phương án đã cho. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về định nghĩa và tính chất của điểm đối xứng qua một đường thẳng. Điểm đối xứng \(E\) của \(D\) qua đường thẳng \(AB\) là điểm nằm trên đường thẳng \(AB\) và cách điểm \(D\) cùng khoảng cách với điểm \(A\) như khoảng cách giữa điểm \(D\) và điểm \(B\). Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét từng phương án đã cho để xác định đáp án đúng. Phương án A: \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = \sqrt{3} a^{2} \) Để kiểm tra xem phương án A có đúng hay không, chúng ta cần tính tích vô hướng của vector \( \overrightarrow{AE} \) và vector \( \overrightarrow{AB} \). Tích vô hướng của hai vector bằng tích của độ dài của chúng và cosin của góc giữa chúng. Nếu tích vô hướng bằng \( \sqrt{3} a^{2} \), thì phương án A là đáp án đúng. Phương án B: \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = \sqrt{5} a^{2} \) Tương tự như phương án A, chúng ta cần tính tích vô hướng của hai vector để kiểm tra đáp án B. Nếu tích vô hướng bằng \( \sqrt{5} a^{2} \), thì phương án B là đáp án đúng. Phương án C: \( \overline{AE} \cdot \overline{AB} = 5 a^{2} \) Ở phương án C, chúng ta cần tính tích của độ dài của hai đoạn thẳng \(AE\) và \(AB\) để kiểm tra đáp án. Nếu tích bằng \(5 a^{2}\), thì phương án C là đáp án đúng. Dựa trên tính chất của điểm đối xứng qua đường thẳng, chúng ta có thể suy ra rằng phương án đúng là phương án B, vì tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{AE} \) và \( \overrightarrow{AB} \) bằng \( \sqrt{5} a^{2} \). Tóm lại, đáp án đúng cho bài toán này là phương án B, \( \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = \sqrt{5} a^{2} \).