Giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-x\right) \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-x\right) \). Đây là một bài toán rất thú vị trong lĩnh vực giới hạn và chúng ta sẽ cùng nhau khám phá cách tính toán và hiểu ý nghĩa của nó. Đầu tiên, hãy xem xét biểu thức trong giới hạn. Chúng ta có \( \sqrt{x^{2}+x+1}-x \). Để tính giới hạn khi \( x \) tiến tới vô cùng, chúng ta có thể sử dụng một số kỹ thuật giới hạn thông thường. Để bắt đầu, chúng ta có thể nhân và chia biểu thức trên với một biểu thức tương đương để đơn giản hóa nó. Trong trường hợp này, chúng ta có thể nhân và chia với biểu thức \( \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}+x}{\sqrt{x^{2}+x+1}+x} \). Khi làm như vậy, chúng ta thu được biểu thức mới là \( \frac{x^{2}+x+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}+x} \). Tiếp theo, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách loại bỏ các thành phần không cần thiết. Khi \( x \) tiến tới vô cùng, các thành phần như \( x^{2} \) và \( x \) sẽ trở nên không đáng kể so với \( x^{2}+x+1 \). Do đó, chúng ta có thể xem xét biểu thức mới là \( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}+x} \). Tiếp theo, chúng ta có thể tiếp tục đơn giản hóa biểu thức này bằng cách chia cả tử và mẫu cho \( x \). Khi làm như vậy, chúng ta thu được biểu thức cuối cùng là \( \frac{1}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\right)+1} \). Bây giờ, chúng ta đã đơn giản hóa biểu thức ban đầu thành một biểu thức đơn giản hơn. Để tính giới hạn khi \( x \) tiến tới vô cùng, chúng ta chỉ cần xem xét giới hạn của biểu thức này. Khi \( x \) tiến tới vô cùng, các thành phần như \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{1}{x^{2}} \) sẽ tiến tới 0. Do đó, chúng ta có thể xem xét giới hạn của biểu thức là \( \frac{1}{1} \), tức là 1. Vậy nên, giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-x\right) \) là 1. Trên đây là quá trình tính toán và giải thích ý nghĩa của giới hạn của biểu thức đã cho. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn và áp dụng nó vào các bài toán thực tế.