Tìm số hạng tổng quát của dãy số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm số hạng tổng quát của dãy số \( \left(u_{n}\right) \) với \( \left\{\begin{array}{l}u_{1}=5 \\ u_{n-1}=u_{n}+n\end{array}\right. \). Yêu cầu của chúng ta là tìm số hạng tổng quát \( u_{n} \) của dãy số. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đệ quy. Đầu tiên, chúng ta đã biết rằng \( u_{1}=5 \). Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng công thức đệ quy \( u_{n-1}=u_{n}+n \) để tìm số hạng tiếp theo của dãy số. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét các lựa chọn được đưa ra trong câu hỏi: A. \( u_{n}=\frac{(n-1) n}{2} \) B. \( u_{n}=5+\frac{(n-1) n}{2} \) C. \( u_{n}=5+\frac{(n+1) n}{2} \) D. \( u_{n}=5+\frac{(n+1)(n+2)}{2} \) Để xác định số hạng tổng quát \( u_{n} \) của dãy số, chúng ta cần tìm một công thức tổng quát dựa trên công thức đệ quy đã cho. Nhìn vào công thức đệ quy \( u_{n-1}=u_{n}+n \), chúng ta có thể nhận thấy rằng mỗi số hạng trong dãy số được tạo ra bằng cách cộng thêm một số nguyên dương n. Vì vậy, chúng ta có thể suy ra rằng số hạng tổng quát \( u_{n} \) của dãy số sẽ có dạng \( u_{n}=5+f(n) \), trong đó \( f(n) \) là một hàm số chưa biết. Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế \( u_{n-1} \) trong công thức đệ quy bằng \( u_{n}=5+f(n) \). Ta có: \( u_{n-1}=u_{n}+n \) \( 5+f(n-1)=5+f(n)+n \) Sau khi rút gọn, ta được: \( f(n-1)=f(n)+n \) Từ đây, chúng ta có thể nhận thấy rằng \( f(n) \) là một hàm số tuyến tính, với hệ số góc bằng 1. Vì vậy, ta có thể viết lại \( f(n) \) dưới dạng \( f(n)=an+b \), trong đó a và b là các hằng số chưa biết. Tiếp theo, chúng ta sẽ thay thế \( f(n) \) trong công thức \( u_{n}=5+f(n) \) bằng \( an+b \). Ta có: \( u_{n}=5+f(n) \) \( u_{n}=5+an+b \) Sau khi rút gọn, ta được: \( u_{n}=an+(b+5) \) Vậy, số hạng tổng quát \( u_{n} \) của dãy số là \( u_{n}=an+(b+5) \). Từ đây, chúng ta có thể nhận thấy rằng lựa chọn B. \( u_{n}=5+\frac{(n-1) n}{2} \) là đáp án đúng.