Chứng minh ABDC là hình chữ nhật và ANBM là hình thoi

Trong bài toán này, chúng ta được cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) tại đỉnh A, với \( AB < AC \). Điểm M là trung điểm của cạnh BC và trên tia AM, chúng ta lấy điểm D sao cho AM = MD. a) Để chứng minh rằng ABDC là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh của hình chữ nhật này đều bằng nhau và các đường chéo của nó giao nhau tại trung điểm. Ta có AM = MD, do đó tam giác AMD là tam giác cân tại đỉnh M. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên ta có góc AMB = 90 độ. Từ đó, ta suy ra góc AMD = 90 độ. Do đó, ta có hai góc vuông AMB và AMD, từ đó suy ra ABDC là hình chữ nhật. Vì các cạnh của hình chữ nhật này đều bằng nhau và các đường chéo giao nhau tại trung điểm, nên ta có thể kết luận rằng ABDC là hình chữ nhật. b) Để chứng minh rằng ANBM là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh của hình thoi này đều bằng nhau và các đường chéo của nó giao nhau vuông góc tại trung điểm. Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Ta có ME là đường trung trực của cạnh AB và MD là đường trung trực của cạnh BC. Vì M là trung điểm của cạnh BC, nên ta có ME = MD. Chúng ta cần chứng minh rằng AN = NM. Ta có AM = MD và ME = EN, do đó ta có AM = ME + EN = MN. Vì AM = MN, nên ta có thể kết luận rằng ANBM là hình thoi. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng ABDC là hình chữ nhật và ANBM là hình thoi, dựa trên các điều kiện đã cho trong đề bài.