Sự hội tụ và phân kỳ của hai chuỗi số

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khảo sát sự hội tụ hoặc phân kỳ của hai chuỗi số được cho sau đây: a) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {n!}{2n^{3}+1}$ b) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {n3}{n^{n}}$ Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét chuỗi a) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac {n!}{2n^{3}+1}$. Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi này, chúng ta có thể sử dụng định lý hội tụ của d'Alembert. Theo định lý này, nếu giới hạn $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ tồn tại và nhỏ hơn 1, thì chuỗi sẽ hội tụ. Ngược lại, nếu giới hạn này lớn hơn 1 hoặc không tồn tại, chuỗi sẽ phân kỳ. Áp dụng định lý này vào chuỗi a), ta có: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {\frac {(n+1)!}{2(n+1)^{3}+1}}{\frac {n!}{2n^{3}+1}}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {(n+1)!}{n!}\cdot \frac {2n^{3}+1}{2(n+1)^{3}+1}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {n+1}{1}\cdot \frac {2n^{3}+1}{2(n+1)^{3}+1}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {2n^{3}+1}{2(n+1)^{3}+1}\right|$ Tiếp theo, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách loại bỏ các thành phần không quan trọng. Khi n lớn, ta có thể bỏ qua các thành phần có bậc thấp hơn. Do đó, ta có: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {2n^{3}+1}{2(n+1)^{3}+1}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {2n^{3}}{2(n+1)^{3}}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {n^{3}}{(n+1)^{3}}\right|$ Tiếp theo, chúng ta có thể mở rộng biểu thức này bằng cách sử dụng công thức nhân đôi. Khi n lớn, ta có thể bỏ qua các thành phần có bậc thấp hơn. Do đó, ta có: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {n^{3}}{(n+1)^{3}}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {n^{3}}{n^{3}+3n^{2}+3n+1}\right|$ Tiếp theo, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách loại bỏ các thành phần không quan trọng. Khi n lớn, ta có thể bỏ qua các thành phần có bậc thấp hơn. Do đó, ta có: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {n^{3}}{n^{3}+3n^{2}+3n+1}\right| = \lim _{n\rightarrow \infty }\left| \frac {n^{3}}{n^{3