Tính tích phân của một đường cong tam giác

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm cách tính tích phân của một đường cong tam giác cụ thể. Yêu cầu của chúng ta là tính tích phân \( \int_{C} x y d x+x^{2} y^{3} \mathrm{~d} y \), với \( C \) là canh của tam giác từ \( (0,0) \) đến \( (1,0) \), rồi đến \( (1,2) \), và cuối cùng quay trở lại \( (0,0) \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân đường cong. Đầu tiên, chúng ta cần xác định phương trình của đường cong tam giác. Với ba đỉnh của tam giác là \( (0,0) \), \( (1,0) \) và \( (1,2) \), ta có thể viết phương trình đường cong như sau: \( C: \begin{cases} x = t \\ y = \begin{cases} 0, & \text{if } 0 \leq t \leq 1 \\ 2t, & \text{if } 1 \leq t \leq 2 \\ 4-2t, & \text{if } 2 \leq t \leq 3 \end{cases} \end{cases} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân theo công thức: \( \int_{C} x y d x+x^{2} y^{3} \mathrm{~d} y = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \cdot (x'(t) \cdot y'(t)) \mathrm{~d} t \) Trong đó, \( f(x,y) = xy \) là hàm mà chúng ta đang tích phân, và \( x(t) \) và \( y(t) \) là các thành phần của đường cong tam giác. Áp dụng công thức tích phân đường cong, ta có: \( \int_{C} x y d x+x^{2} y^{3} \mathrm{~d} y = \int_{0}^{3} (t \cdot y(t)) \cdot (1 \cdot y'(t)) \mathrm{~d} t \) Để tính tích phân này, chúng ta cần xác định đạo hàm của \( y(t) \) và tính giá trị của \( y'(t) \) tại từng khoảng giá trị của \( t \). Sau đó, ta có thể tính tích phân bằng cách tính giá trị của hàm tích phân trên đoạn \([0,3]\). Sau khi tính toán, ta sẽ có kết quả cuối cùng cho tích phân của đường cong tam giác theo yêu cầu của bài toán. Trên đây là cách chúng ta có thể tính tích phân của một đường cong tam giác cụ thể. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính tích phân đường cong và áp dụng nó vào bài toán cụ thể này.