Chứng minh công thức tổng bình phương các số tự nhiên

Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng phép chứng minh quy nạp để chứng minh một công thức quan trọng liên quan đến tổng bình phương các số tự nhiên. Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, tổng bình phương của các số từ 1 đến n có thể được tính bằng công thức sau: \(1^{2}+2^{2}+\ldots n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\). Để bắt đầu, chúng ta sẽ chứng minh công thức này bằng phép chứng minh quy nạp. Đầu tiên, chúng ta cần chứng minh công thức này đúng cho trường hợp cơ sở, tức là khi n = 1. Khi đó, tổng bình phương của các số từ 1 đến 1 chỉ có một số duy nhất, là \(1^{2}\), và công thức trở thành \(1^{2}=\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}\), điều này là đúng. Tiếp theo, chúng ta giả sử công thức này đúng cho một số tự nhiên k, tức là \(1^{2}+2^{2}+\ldots k^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\). Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng công thức này cũng đúng cho số tự nhiên k+1. Khi đó, tổng bình phương của các số từ 1 đến k+1 sẽ là \(1^{2}+2^{2}+\ldots k^{2}+(k+1)^{2}\). Theo giả thiết quy nạp, ta có \(1^{2}+2^{2}+\ldots k^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\). Thay vào công thức trên, ta có: \(1^{2}+2^{2}+\ldots k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}+(k+1)^{2}\). Tiếp theo, ta sẽ rút gọn biểu thức này: \(=\frac{k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^{2}}{6}\) \(=\frac{(k+1)[k(2 k+1)+6(k+1)]}{6}\) \(=\frac{(k+1)(2 k^{2}+7 k+6)}{6}\) \(=\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\). Như vậy, ta đã chứng minh được công thức này đúng cho số tự nhiên k+1. Từ đó, theo nguyên lý quy nạp, công thức này đúng với mọi số tự nhiên n. Trên đây là cách chúng ta sử dụng phép chứng minh quy nạp để chứng minh công thức tổng bình phương của các số tự nhiên. Công thức này rất hữu ích trong việc tính toán tổng bình phương các số tự nhiên và có thể được áp dụng trong nhiều bài toán khác nhau.