Tìm điều kiện và tọa độ tâm của đường tròn từ phương trình

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về điều kiện và tọa độ tâm của đường tròn từ phương trình đã cho. Chúng ta sẽ xem xét hai phương trình đường tròn và tìm hiểu cách chứng minh chúng là đường tròn và tìm tọa độ tâm của chúng. Phương trình đầu tiên là \( x^{2}+y^{2}-2 m x-4(m-2) y+6-m=0 \) (1). Để xác định điều kiện để (1) là phương trình đường tròn, chúng ta cần xem xét hệ số của \( x^{2} \) và \( y^{2} \). Điều kiện cần và đủ để (1) là phương trình đường tròn là \( x^{2}+y^{2} \) phải có hệ số bằng nhau. Từ đó, ta có \( -2m = -4(m-2) \). Giải phương trình này, ta thu được \( m = 4 \). Khi \( m = 4 \), phương trình (1) trở thành \( x^{2}+y^{2}-8x-8y+2=0 \). Để tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn này, chúng ta cần chuyển phương trình về dạng chuẩn của đường tròn. Ta có thể hoàn thành hình vuông hoàn chỉnh bằng cách thêm và trừ một số hợp lý vào cả hai phía của phương trình. Sau khi hoàn thành hình vuông hoàn chỉnh, ta thu được phương trình đường tròn dạng \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), trong đó \((a,b)\) là tọa độ tâm và \(r\) là bán kính. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phương trình thứ hai là \( x^{2}+y^{2}+(m+2) x-(m+4) y+m+1=0 \) (2). Để chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn, chúng ta cũng cần xem xét hệ số của \( x^{2} \) và \( y^{2} \). Điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình đường tròn là \( x^{2}+y^{2} \) phải có hệ số bằng nhau. Từ đó, ta có \( 1 = -(m+4) \). Giải phương trình này, ta thu được \( m = -5 \). Khi \( m = -5 \), phương trình (2) trở thành \( x^{2}+y^{2}-3x+1=0 \). Tương tự như trên, chúng ta cần chuyển phương trình về dạng chuẩn của đường tròn để tìm tọa độ tâm và bán kính. Sau khi hoàn thành hình vuông hoàn chỉnh, ta thu được phương trình đường tròn dạng \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), trong đó \((a,b)\) là tọa độ tâm và \(r\) là bán kính. Tóm lại, chúng ta đã tìm hiểu về điều kiện và tọa độ tâm của đường tròn từ hai phương trình đã cho. Điều kiện để phương trình (1) và (2) là phương trình đường tròn là \( m = 4 \) và \( m = -5 \) tương ứng. Tọa