Tranh luận về giá trị của \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)=r^{2} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về giá trị của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)=r^{2} \). Đây là một bài toán giới hạn có tính chất đặc biệt và đòi hỏi chúng ta phải áp dụng các kiến thức về giới hạn và đạo hàm để giải quyết. Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét phần tử đầu tiên của biểu thức, \( \frac{x}{x-1} \). Khi x tiến đến 1, mẫu số \( x-1 \) tiến đến 0, dẫn đến một phép chia không xác định. Tuy nhiên, chúng ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để giải quyết vấn đề này. Bằng cách lấy đạo hàm của phân số, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\frac{x}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{1} = 1 \] Tiếp theo, chúng ta xem xét phần tử thứ hai của biểu thức, \( \frac{1}{\ln x} \). Khi x tiến đến 1, hàm logarithm tự nhiên \( \ln x \) cũng tiến đến 0. Tương tự như trường hợp trước, chúng ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để giải quyết vấn đề này. Bằng cách lấy đạo hàm của phân số, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\frac{1}{\ln x} = \lim _{x \rightarrow 1}\frac{0}{1} = 0 \] Kết hợp hai phần tử trên, ta có: \[ \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right) = 1 - 0 = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right) \) là 1. Trong bài viết này, chúng ta đã thảo luận về giá trị của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right) \) và đã chứng minh rằng nó bằng 1. Điều này là kết quả của việc áp dụng quy tắc L'Hôpital và các kiến thức về giới hạn và đạo hàm.