Tranh luận về mệnh đề đúng trong bài toán tích phân

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tranh luận về mệnh đề đúng trong bài toán tích phân \( \int \frac{2 x-13}{(x+1)(x-2)} \mathrm{dx}=a \ln |x+1|+b \ln |x-2|+C \). Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét các mệnh đề A, B, C và D và xác định mệnh đề nào là đúng. Mệnh đề A: \( a+2 b=8 \) Mệnh đề B: \( a+b=8 \) Mệnh đề C: \( 2 a-b=8 \) Mệnh đề D: \( a-b=8 \) Để xác định mệnh đề đúng, chúng ta cần tính toán giá trị của \( a \) và \( b \) từ phương trình tích phân ban đầu. Bằng cách sử dụng phương pháp phân tích thành phân thức, ta có thể phân tích phương trình thành: \[ \int \frac{2 x-13}{(x+1)(x-2)} \mathrm{dx} = \int \left(\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}\right) \mathrm{dx} \] Sau khi thực hiện phân tích thành phân thức, ta thu được: \[ 2x - 13 = A(x-2) + B(x+1) \] Bằng cách so sánh các hệ số của \( x \) trên hai vế của phương trình, ta có thể xác định giá trị của \( A \) và \( B \). Từ đó, ta có thể tính toán giá trị của \( a \) và \( b \) bằng cách sử dụng các công thức tích phân. Sau khi tính toán, ta thu được: \[ a = 3 \] \[ b = -5 \] Với giá trị của \( a \) và \( b \ đã xác định, ta có thể kiểm tra mỗi mệnh đề để xác định mệnh đề nào là đúng. Mệnh đề A: \( a+2 b=8 \) Thay vào giá trị của \( a \) và \( b \), ta có: \[ 3 + 2(-5) = -7

eq 8 \] Vậy mệnh đề A không đúng. Mệnh đề B: \( a+b=8 \) Thay vào giá trị của \( a \) và \( b \), ta có: \[ 3 + (-5) = -2

eq 8 \] Vậy mệnh đề B không đúng. Mệnh đề C: \( 2 a-b=8 \) Thay vào giá trị của \( a \) và \( b \), ta có: \[ 2(3) - (-5) = 11

eq 8 \] Vậy mệnh đề C không đúng. Mệnh đề D: \( a-b=8 \) Thay vào giá trị của \( a \) và \( b \), ta có: \[ 3 - (-5) = 8 \] Vậy mệnh đề D là đúng. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng mệnh đề đúng trong bài toán tích phân là mệnh đề D: \( a-b=8 \).