Chứng minh bất đẳng thức \( x_{+}^{2}+6 x+14 \geq 5, \forall x \in \mathbb{R} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh bất đẳng thức \( x_{+}^{2}+6 x+14 \geq 5, \forall x \in \mathbb{R} \). Đây là một bài toán rất thú vị và có ý nghĩa trong toán học. Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thiện khối vuông. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng bất đẳng thức đã cho có dạng \( x_{+}^{2}+6 x+14 \geq 5 \). Ta sẽ chuyển vế và thu gọn để có \( x_{+}^{2}+6 x+9 \geq 0 \). Tiếp theo, ta sẽ thực hiện phép hoàn thiện khối vuông bằng cách thêm vào cả hai vế của bất đẳng thức một số hạng sao cho cả hai vế đều là một khối vuông hoàn hảo. Trong trường hợp này, ta sẽ thêm số 9 vào cả hai vế để có \( x_{+}^{2}+6 x+9+5 \geq 9 \). Tiếp theo, ta sẽ biến đổi bất đẳng thức thành một khối vuông hoàn hảo. Để làm điều này, ta sẽ viết lại bất đẳng thức dưới dạng \( (x_{+}+3)^{2} \geq 9 \). Bây giờ, chúng ta đã có một bất đẳng thức dạng khối vuông hoàn hảo. Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng tính chất của khối vuông hoàn hảo. Theo tính chất này, một số bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Vì vậy, ta có \( (x_{+}+3)^{2} \geq 0 \). Từ đó, ta có thể kết luận rằng \( x_{+}^{2}+6 x+14 \geq 5, \forall x \in \mathbb{R} \). Bất đẳng thức đã được chứng minh và đúng với mọi giá trị của x trong tập số thực. Trên đây là quá trình chứng minh bất đẳng thức \( x_{+}^{2}+6 x+14 \geq 5, \forall x \in \mathbb{R} \). Bài toán này không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về phương pháp hoàn thiện khối vuông mà còn cho chúng ta thấy sự ứng dụng của toán học trong thực tế.