Chứng minh bất đẳng thức cho \( a, b, c>0 \) thỏa mãn \( abc=1 \)

Bài toán này yêu cầu chúng ta chứng minh bất đẳng thức sau đối với các số thực dương \( a, b, c \) thỏa mãn \( abc=1 \): \[ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} \geq \frac{3}{2} \quad (1) \] Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng bất đẳng thức (1) không đúng, tức là: \[ \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)} < \frac{3}{2} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc để đưa ra một mâu thuẫn. Đầu tiên, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số \( a, b, c \) ta có: \[ \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} = 1 \] Từ đó, ta suy ra: \[ a+b+c \geq 3 \quad (2) \] Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số \( a, b, c \) và \( \frac{1}{a^{2}(b+c)}, \frac{1}{b^{2}(c+a)}, \frac{1}{c^{2}(a+b)} \) ta có: \[ \left(\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\right)(a+b+c) \geq \left(\frac{1}{a\sqrt{b+c}}+\frac{1}{b\sqrt{c+a}}+\frac{1}{c\sqrt{a+b}}\right)^{2} \] Từ đó, ta suy ra: \[ \frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}} \quad (3) \] Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng mâu thuẫn để chứng minh rằng giả định ban đầu là sai. Từ bất đẳng thức (3), ta có: \[ \frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}} > \frac{3}{2} \] Tuy nhiên, từ bất đẳng thức (2), ta biết rằng \( a+b+c \geq 3 \), do đó: \[ \frac{(a+b+c)^{2}}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}} \leq \frac{9}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}} \] Vậy, ta có: \[ \frac{9}{a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}} > \frac{3}{2} \] Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu. Vì vậy, giả định ban đầu là sai và bất đẳng thức (1) được chứng minh.