Giải các phương trình logarit trong đề thi

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải các phương trình logarit trong đề thi. Chúng ta sẽ tìm nghiệm lớn nhất của phương trình \( \log _{\sqrt{2}} x+\log _{\frac{1}{2}}(2 x-1)=1 \), tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \( \log _{\sqrt{3}}(x-2)+\log _{3}(x-4)^{2}=0 \), và tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \( \frac{1}{2} \log x^{2}+\log (x+10)=2-\log 4 \). Bắt đầu với phương trình đầu tiên, chúng ta có \( \log _{\sqrt{2}} x+\log _{\frac{1}{2}}(2 x-1)=1 \). Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc cộng logarit và quy tắc nhân logarit. Áp dụng quy tắc cộng logarit, ta có thể viết lại phương trình thành \( \log _{\sqrt{2}}(x(2x-1))=1 \). Tiếp theo, áp dụng quy tắc nhân logarit, ta có \( x(2x-1)=\sqrt{2} \). Đây là một phương trình bậc hai, ta có thể giải nó bằng cách đặt \( 2x-1=y \). Khi đó, phương trình trở thành \( y^{2}-2y-\sqrt{2}=0 \). Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm \( y=1+\sqrt{2} \) và \( y=1-\sqrt{2} \). Tiếp theo, ta đặt \( 2x-1=1+\sqrt{2} \) và \( 2x-1=1-\sqrt{2} \), từ đó tìm được hai nghiệm \( x=\frac{3+\sqrt{2}}{2} \) và \( x=\frac{3-\sqrt{2}}{2} \). Cuối cùng, ta tính \( a+2b \) bằng cách thay các giá trị của \( x \) vào công thức \( a+2b \). Kết quả là \( a+2b=4 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ giải phương trình thứ hai \( \log _{\sqrt{3}}(x-2)+\log _{3}(x-4)^{2}=0 \). Áp dụng quy tắc cộng logarit, ta có \( \log _{\sqrt{3}}((x-2)(x-4)^{2})=0 \). Tiếp theo, áp dụng quy tắc nhân logarit, ta có \( (x-2)(x-4)^{2}=3^{0}=1 \). Đây là một phương trình bậc ba, ta có thể giải nó bằng cách đặt \( x-4=y \). Khi đó, phương trình trở thành \( (y+2)y^{2}=1 \). Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm \( y=\frac{-1}{2} \) và \( y=1 \). Tiếp theo, ta đặt \( x-4=\frac{-1}{2} \) và \( x-4=1 \), từ đó tìm được hai nghiệm \( x=\frac{7}{2} \) và \( x=5 \). Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình là \( 6 \). Cuối cùng, chúng ta sẽ giải phương trình thứ ba \( \frac{1}{2} \log x^{2}+\log (x+10)=2-\log 4 \). Áp d