Giải tích phân của hàm \( (1-2x)e^x \)

Giới thiệu: Trong toán học, phép tích phân là một khái niệm quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính giá trị của hai phép tích phân \( \int e^x dx \) và \( \int 2x \cdot e^x dx \), cùng với ví dụ minh họa để hiểu rõ hơn về chúng. Phần đầu tiên: Giải tích phân \( \int e^x dx \) Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét phép tích phân \( \int e^x dx \). Để tính giá trị của phép tích phân này, chúng ta sử dụng quy tắc cơ bản của tích phân, là tích phân của hàm mũ \( e^x \). Áp dụng quy tắc này, chúng ta có: \[ \int e^x dx = e^x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích cực. Điều này có nghĩa là giá trị của phép tích phân \( \int e^x dx \) là hàm mũ \( e^x \) cộng với một hằng số. Phần thứ hai: Giải tích phân \( \int 2x \cdot e^x dx \) Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét phép tích phân \( \int 2x \cdot e^x dx \). Để tính giá trị của phép tích phân này, chúng ta sử dụng phương pháp tích phân bằng phép tích. Đầu tiên, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc tích phân của hàm mũ \( e^x \), sau đó sẽ tích phân hàm \( 2x \) theo biến \( x \). Áp dụng quy tắc này, chúng ta có: \[ \int 2x \cdot e^x dx = 2 \int x \cdot e^x dx \] Tiếp theo, chúng ta sử dụng phương pháp tích phân bằng phép tích để tính giá trị của phép tích phân \( \int x \cdot e^x dx \). Áp dụng phương pháp này, chúng ta chọn một hàm gọi là hàm \( u \) và một hàm khác gọi là hàm \( v \), sao cho \( u \) có đạo hàm dễ tính và \( v \) có tích phân dễ tính. Trong trường hợp này, chúng ta chọn \( u = x \) và \( v = e^x \). Áp dụng quy tắc tích phân bằng phép tích, chúng ta có: \[ \int x \cdot e^x dx = x \cdot e^x - \int e^x dx \] Tiếp theo, chúng ta sử dụng kết quả từ phần đầu tiên để tính giá trị của phép tích phân \( \int x \cdot e^x dx \). Áp dụng kết quả này, chúng ta có: \[ \int x \cdot e^x dx = x \cdot e^x - e^x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích cực. Kết luận: Trong bài viết này, chúng ta đã giải thích cách tính giá trị của hai phép tích phân \( \int e^x dx \) và \( \int 2x \cdot e^x dx \), cùng với ví dụ minh họa. Chúng ta đã thấy rằng giá trị của phép tích phân \( \int e^x dx \) là hàm mũ \( e^x \) cộng với một hằng số, và giá trị của phép tích phân \( \int 2x \cdot e^x dx \) là \( 2x \cdot e^x - e^x \) cộng với một hằng số. Hi vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính giá trị của hai phép tích phân này và áp dụng chúng vào các bài toán thực tế.