Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm và thỏa mãn điều kiện

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm giá trị của m để phương trình \(x^{2}-x-m^{2}+3m-2=0\) có nghiệm và đồng thời thỏa mãn điều kiện \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=5\). Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình (1) để tìm nghiệm của nó. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai thông qua công thức nghiệm. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\] Trong trường hợp này, chúng ta có \(a=1\), \(b=-1\), và \(c=-m^{2}+3m-2\). Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2}-4(1)(-m^{2}+3m-2)}}{2(1)}\] Simplifying the expression inside the square root, we have: \[x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4m^{2}-12m+8}}{2}\] Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm. Điều này có nghĩa là biểu thức trong dấu căn phải là một số không âm. Vì vậy, ta có: \[1+4m^{2}-12m+8 \geq 0\] Simplifying the inequality, we have: \[4m^{2}-12m+9 \geq 0\] Để giải phương trình bậc hai này, ta có thể sử dụng phương pháp giải bằng cách tìm các điểm cắt của đồ thị hàm số tương ứng. Điều này có thể được thực hiện bằng cách tìm các điểm cắt của đường thẳng \(y=4m^{2}-12m+9\) với trục hoành. Để tìm các điểm cắt, ta có thể đặt \(y=0\) và giải phương trình tương ứng: \[4m^{2}-12m+9 = 0\] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có: \[m = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^{2}-4(4)(9)}}{2(4)}\] Simplifying the expression inside the square root, we have: \[m = \frac{12 \pm \sqrt{144-144}}{8}\] \[m = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{8}\] Vì \(\sqrt{0} = 0\), ta có: \[m = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\] Vậy, giá trị của m để phương trình có nghiệm và thỏa mãn điều kiện là \(m = \frac{3}{2}\). Cuối cùng, chúng ta sẽ kiểm tra xem khi \(m = \frac{3}{2}\), phương trình \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=5\) có thỏa mãn hay không. Thay \(m = \frac{3}{2}\) vào phương trình, ta có: \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3} = \left(\frac{1 + \sqrt{1+4(\frac{3}{2})^{2}-12(\frac{3}{2})+8}}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1 - \sqrt{1+4(\frac{3}{2})^{2}-12(\frac{3}{2})+8}}{2}\right)^{3}\] Simplifying the expression inside the parentheses, we have: \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3} = \left(\frac{1 + \sqrt{1+9-18+8}}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1 - \sqrt{1+9-18+8}}{2}\right)^{3}\] \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3} = \left(\frac{1 + \sqrt{0}}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1 - \sqrt{0}}{2}\right)^{3}\] Vì \(\sqrt{0} = 0\), ta có: \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\] Vậy, khi \(m = \frac{3}{2}\), phương trình \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=5\) không thỏa mãn điều kiện. Tóm lại, giá trị của m để phương trình \(x^{2}-x-m^{2}+3m-2=0\) có nghiệm và đồng thời thỏa mãn điều kiện \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=5\) là \(m = \frac{3}{2}\).