Rút gọn biểu thức và tìm điều kiện để biểu thức nhỏ hơn

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách rút gọn biểu thức và tìm điều kiện để biểu thức nhỏ hơn 0. Biểu thức được cho là: \[ \mathrm{P}=\left(\frac{x \sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x \sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\left[\frac{2(x-2 \sqrt{x}+1)}{x-1}\right] \] Đầu tiên, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức này. Bằng cách thực hiện các phép tính, ta có thể đơn giản hóa biểu thức như sau: \[ \mathrm{P}=\left(\frac{x \sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x \sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\right):\left[\frac{2(x-2 \sqrt{x}+1)}{x-1}\right] \] \[ = \frac{(x \sqrt{x}-1)(x+ \sqrt{x})-(x \sqrt{x}+1)(x- \sqrt{x})}{2(x-2 \sqrt{x}+1)(x-1)} \] \[ = \frac{x^3-x-(x^3-x)}{2(x-2 \sqrt{x}+1)(x-1)} \] \[ = \frac{-2}{2(x-2 \sqrt{x}+1)(x-1)} \] \[ = \frac{-1}{(x-2 \sqrt{x}+1)(x-1)} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm điều kiện để biểu thức \( \mathrm{P} \) nhỏ hơn 0. Để biểu thức nhỏ hơn 0, tức là nó phải có giá trị âm. Điều này xảy ra khi tử số âm và mẫu số dương hoặc tử số dương và mẫu số âm. Với biểu thức \( \mathrm{P} = \frac{-1}{(x-2 \sqrt{x}+1)(x-1)} \), ta có thể thấy rằng tử số là -1, vì vậy để biểu thức nhỏ hơn 0, mẫu số phải là dương. Điều kiện để mẫu số là dương là: \[ (x-2 \sqrt{x}+1)(x-1) > 0 \] Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng đồ thị hàm số hoặc phân tích dấu. Tuy nhiên, để đơn giản hóa quá trình, chúng ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra giá trị của biểu thức tại các điểm quan trọng. Đầu tiên, ta xét điểm \( x = 1 \). Tại điểm này, biểu thức trở thành: \[ (1-2 \cdot 1+1)(1-1) = 0 \] Ta thấy rằng biểu thức bằng 0 tại điểm này, vì vậy ta không thể chọn \( x = 1 \) để biểu thức nhỏ hơn 0. Tiếp theo, ta xét điểm \( x = 2 \). Tại điểm này, biểu thức trở thành: \[ (2-2 \cdot \sqrt{2}+1)(2-1) = (3-2 \cdot \sqrt{2})(1) = 3-2 \cdot \sqrt{2} \] Ta thấy rằng biểu thức lớn hơn 0 tại điểm này, vì vậy ta không thể chọn \( x = 2 \) để biểu thức nhỏ hơn 0. Từ các phân tích trên, ta có thể kết luận rằng để biểu thức \( \mathrm{P} \) nhỏ hơn 0, ta cần thỏa mãn điều kiện: \[ (x-2 \sqrt{x}+1)(x-1) > 0 \] với \( x

eq 1 \) và \( x

eq 2 \). Trên đây là quá trình rút gọn biểu thức và tìm điều kiện để biểu thức nhỏ hơn 0. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách làm bài tập này.