Phân tích các tích phân trong hệ tọa độ Descartes

Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích hai bài toán tích phân trong hệ tọa độ Descartes. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính các tích phân sau đây: a) \( \iint_{D} y^{2} d x d y, D=\{(x, y) \mid-1 \leq y \leq 1,-y-2 \leq x \leq y\} \) b) \( \iint_{D} \frac{y}{x^{5}+1} d x d y, D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\} \) Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét bài toán a. Để tính tích phân này, chúng ta cần xác định miền tích phân D trên hệ tọa độ Descartes. Miền D được xác định bởi các ràng buộc -1 ≤ y ≤ 1 và -y-2 ≤ x ≤ y. Điều này có nghĩa là miền D là một hình tam giác nằm giữa đường thẳng y = -1, y = 1 và đường thẳng x = -y-2. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân \( \iint_{D} y^{2} d x d y \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân kép. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính tích phân theo biến x và sau đó tích phân theo biến y. Đối với tích phân theo biến x, chúng ta sẽ giữ y cố định và tính tích phân của hàm y^2 theo x từ -y-2 đến y. Kết quả của tích phân này sẽ là một hàm của y. Sau đó, chúng ta sẽ tích phân hàm này theo y từ -1 đến 1 để tính tổng giá trị của tích phân trên toàn miền D. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán b. Miền tích phân D trong trường hợp này được xác định bởi các ràng buộc 0 ≤ x ≤ 1 và 0 ≤ y ≤ x^2. Điều này có nghĩa là miền D là một hình tam giác nằm giữa đường thẳng x = 0, x = 1 và đường cong y = x^2. Chúng ta sẽ tính tích phân \( \iint_{D} \frac{y}{x^{5}+1} d x d y \) bằng cách sử dụng phương pháp tích phân kép tương tự như trên. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính tích phân theo biến x bằng cách giữ y cố định và tính tích phân của hàm y/(x^5+1) theo x từ 0 đến 1. Kết quả của tích phân này sẽ là một hàm của y. Sau đó, chúng ta sẽ tích phân hàm này theo y từ 0 đến x^2 để tính tổng giá trị của tích phân trên toàn miền D. Trên đây là phân tích của hai bài toán tích phân trong hệ tọa độ Descartes. Chúng ta đã xác định miền tích phân và tính toán giá trị của tích phân theo từng biến. Kết quả cuối cùng sẽ là giá trị của tích phân trên toàn miền D.