Rút gọn biểu thức trigonometric

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách rút gọn các biểu thức trigonometric thông qua các phép biến đổi và công thức trigonometric cơ bản. Phần 1: Rút gọn biểu thức a) $\frac {tan2\alpha }{tan4\alpha -tan2\alpha }$ Để rút gọn biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng công thức tangents của hiệu hai góc: $tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) - tan(\beta)}{1 + tan(\alpha)tan(\beta)}$. Áp dụng công thức này, ta có: $\frac {tan2\alpha }{tan4\alpha -tan2\alpha } = \frac{tan(2\alpha - 4\alpha)}{tan(4\alpha - 2\alpha)} = \frac{tan(-2\alpha)}{tan(2\alpha)} = \frac{-tan(2\alpha)}{tan(2\alpha)} = -1$ Vậy biểu thức a) đã được rút gọn thành -1. Phần 2: Rút gọn biểu thức b) $\sqrt {1+sin\alpha }-\sqrt {1-sin\alpha }$, với $0\lt \alpha \lt \frac {\pi }{2}$ Để rút gọn biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng công thức Pythagoras: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(a + b)^2 - 2ab}$. Áp dụng công thức này, ta có: $\sqrt {1+sin\alpha }-\sqrt {1-sin\alpha } = \sqrt{(1 + sin\alpha) - (1 - sin\alpha)} = \sqrt{2sin\alpha} - \sqrt{-2sin\alpha} = \sqrt{2}sin\alpha - i\sqrt{2}cos\alpha$ Vậy biểu thức b) đã được rút gọn thành $\sqrt{2}sin\alpha - i\sqrt{2}cos\alpha$. Phần 3: Rút gọn biểu thức c) $\frac {3-4cos2\alpha +cos4\alpha }{3+4cos2\alpha +cos4\alpha }$ Để rút gọn biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng công thức cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 và cos(4x) = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1. Áp dụng công thức này, ta có: $\frac {3-4cos2\alpha +cos4\alpha }{3+4cos2\alpha +cos4\alpha } = \frac{3-4(2cos^2(\alpha) - 1) + (8cos^4(\alpha) - 8cos^2(\alpha) + 1)}{3+4(2cos^2(\alpha) - 1) + (8cos^4(\alpha) - 8cos^2(\alpha) + 1)} = \frac{3-8cos^2(\alpha) + 8cos^4(\alpha) - 4 + 8cos^4(\alpha) - 8cos^2(\alpha) + 1}{3+8cos^2(\alpha) - 4 + 8cos^4(\alpha) - 8cos^2(\alpha) + 1} = \frac{8cos^4(\alpha) - 8cos^2(\alpha) - 4}{8cos^4(\alpha) - 8cos^2(\alpha) - 4} = 1$ Vậy biểu thức c) đã được rút gọn thành 1. Phần 4: Rút gọn biểu thức d) $\frac {sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha +cos5\alpha }$ Để rút gọn biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng công thức sin(2x) = 2sin(x)cos(x) và cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Áp dụng công thức này, ta có: $\frac {sin\alpha +sin3\alpha +sin5\alpha }{cos\alpha +cos3\alpha +cos5\alpha } = \frac{2sin(\alpha)cos(\alpha) + 2sin(3\alpha)cos(3\alpha) + 2sin(5\alpha)cos(5\alpha)}{cos