Tìm tất cả các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A

Ma trận A đã cho là \( A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right) \). Chúng ta sẽ tìm tất cả các giá trị riêng và vector riêng của ma trận này. Để tìm giá trị riêng của ma trận A, ta cần giải phương trình đặc trưng \( \text{det}(A - \lambda I) = 0 \), trong đó det là định thức, A là ma trận đã cho, λ là giá trị riêng và I là ma trận đơn vị cùng kích thước với A. Thực hiện tính toán, ta có: \( A - \lambda I = \left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ -3 & 5 & -1 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right) - \lambda \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) \( = \left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 2 & -1 \\ -3 & 5 - \lambda & -1 \\ 3 & -2 & 4 - \lambda\end{array}\right) \) Tiếp theo, ta tính định thức của ma trận \( A - \lambda I \) và giải phương trình \( \text{det}(A - \lambda I) = 0 \) để tìm giá trị riêng. \( \text{det}(A - \lambda I) = \text{det}\left(\begin{array}{ccc}-\lambda & 2 & -1 \\ -3 & 5 - \lambda & -1 \\ 3 & -2 & 4 - \lambda\end{array}\right) \) \( = (-\lambda)(5 - \lambda)(4 - \lambda) + 2(-1)(3) + (-1)(-3)(-2) - (-1)(5 - \lambda)(3) - 2(-3)(4 - \lambda) - (-1)(-2)(3) \) \( = -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 26\lambda + 24 \) Giải phương trình \( -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 26\lambda + 24 = 0 \), ta tìm được các giá trị riêng của ma trận A là λ1 = 2, λ2 = 3 và λ3 = 4. Sau khi tìm được các giá trị riêng, ta sẽ tìm các vector riêng tương ứng. Để tìm vector riêng, ta giải hệ phương trình \( (A - \lambda I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \), trong đó \( \mathbf{x} \) là vector riêng và \( \mathbf{0} \) là vector không. Đối với giá trị riêng λ1 = 2, ta giải hệ phương trình \( (A - 2I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \) và tìm được vector riêng tương ứng là \( \mathbf{x}_1 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \). Đối với giá trị riêng λ2 = 3, ta giải hệ phương trình \( (A - 3I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \) và tìm được vector riêng tương ứng là \( \mathbf{x}_2 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \). Đối với giá trị riêng λ3 = 4, ta giải hệ phương trình \( (A - 4I) \mathbf{x} = \mathbf{0} \) và tìm được vector riêng tương ứng là \( \mathbf{x}_3 = \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \). Vậy, tất cả các giá trị riêng và vector riêng của ma trận A đã cho là: Giá trị riêng: λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 4 Vector riêng: \( \mathbf{x}_1 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), \( \mathbf{x}_2 = \left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \), \( \mathbf{x}_3 = \left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \).