Công thức khai triển Maclaurin của hàm số \( f(x)=\frac{x}{b \cdot x+\sqrt{x^{2}+50+b-a}} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về công thức khai triển Maclaurin của hàm số \( f(x)=\frac{x}{b \cdot x+\sqrt{x^{2}+50+b-a}} \) đến số hạng chứa \( x^{2} \) và phần dư dạng Peano. Đầu tiên, chúng ta cần xác định các giá trị của \( a \) và \( b \) trong hàm số. Sau đó, chúng ta sẽ tính toán đạo hàm của hàm số này để tìm các giá trị của các đạo hàm bậc cao. Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển Maclaurin để biểu diễn hàm số dưới dạng chuỗi Taylor. Công thức khai triển Maclaurin cho hàm số \( f(x) \) đến số hạng chứa \( x^{2} \) có dạng: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + R_{2}(x) \] Trong đó, \( f(0) \) là giá trị của hàm số tại \( x = 0 \), \( f'(0) \) là đạo hàm bậc nhất của hàm số tại \( x = 0 \), \( f''(0) \) là đạo hàm bậc hai của hàm số tại \( x = 0 \), và \( R_{2}(x) \) là phần dư dạng Peano. Để tính các giá trị này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính \( f(0) \): Để tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \), chúng ta thay \( x = 0 \) vào công thức ban đầu và tính toán kết quả. 2. Tính \( f'(0) \): Để tính đạo hàm bậc nhất của hàm số tại \( x = 0 \), chúng ta lấy đạo hàm của hàm số ban đầu theo \( x \) và sau đó thay \( x = 0 \) vào công thức mới để tính toán kết quả. 3. Tính \( f''(0) \): Tương tự như trên, chúng ta lấy đạo hàm bậc hai của hàm số ban đầu theo \( x \) và sau đó thay \( x = 0 \) vào công thức mới để tính toán kết quả. 4. Tính \( R_{2}(x) \): Để tính phần dư dạng Peano, chúng ta sẽ sử dụng công thức sau: \[ R_{2}(x) = \frac{f''(c)}{3!}x^{3} \] Trong đó, \( c \) là một giá trị nằm giữa \( 0 \) và \( x \). Chúng ta có thể chọn \( c \) sao cho tích \( f''(c) \cdot x^{3} \) là lớn nhất. Sau khi tính toán các giá trị trên, chúng ta sẽ có công thức khai triển Maclaurin của hàm số \( f(x) \) đến số hạng chứa \( x^{2} \) và phần dư dạng Peano. Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về công thức khai triển Maclaurin của hàm số \( f(x)=\frac{x}{b \cdot x+\sqrt{x^{2}+50+b-a}} \) đến số hạng chứa \( x^{2} \) và phần dư dạng Peano. Công thức này rất hữu ích trong việc xấp xỉ giá trị của hàm số trong các vùng gần điểm \( x = 0 \).