Các dạng bài tập đạo hàm thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia
4(229 phiếu bầu)<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Các dạng bài tập đạo hàm thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia</h2>
Kỳ thi THPT Quốc gia là một cột mốc quan trọng trong hành trình học tập của mỗi học sinh. Đối với môn Toán, đạo hàm là một phần kiến thức quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Hiểu rõ các dạng bài tập đạo hàm thường gặp sẽ giúp các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi. Bài viết này sẽ phân tích chi tiết các dạng bài tập đạo hàm phổ biến, đồng thời cung cấp những phương pháp giải hiệu quả để các em nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong kỳ thi.
<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số</h2>
Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản để tính đạo hàm của một hàm số cho trước. Các công thức đạo hàm cơ bản cần nắm vững bao gồm: đạo hàm của hàm số cơ bản (hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác), đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số, đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$.
Để giải bài toán này, ta áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
$$y' = \frac{(x^2 + 1)'(x - 1) - (x^2 + 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$$
<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số</h2>
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh tính đạo hàm của hàm số đến cấp bậc nhất định. Để giải quyết dạng bài tập này, ta cần áp dụng công thức đạo hàm cấp cao và tính toán cẩn thận.
Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y = sin(2x)$.
Ta có:
$$y' = 2cos(2x)$$
$$y'' = -4sin(2x)$$
<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số</h2>
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Để giải quyết dạng bài tập này, ta cần sử dụng đạo hàm để tìm các điểm cực trị của hàm số, sau đó lập bảng biến thiên để xác định tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.
Ta có:
$$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| y' | + | 0 | - | + |
| y | ↑ | 2 | ↓ | ↑ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Dạng 4: Tìm cực trị của hàm số</h2>
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh tìm các điểm cực trị của hàm số. Để giải quyết dạng bài tập này, ta cần sử dụng đạo hàm để tìm các điểm dừng của hàm số, sau đó áp dụng điều kiện đủ để xác định điểm cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $y = x^4 - 2x^2 + 1$.
Ta có:
$$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$$
$y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$.
Lập bảng biến thiên:
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| y' | - | 0 | + | 0 | + |
| y | ↓ | 0 | ↑ | 0 | ↑ |
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1$ và $x = 1$, đạt cực đại tại $x = 0$.
<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Dạng 5: Ứng dụng đạo hàm vào giải bài toán cực trị</h2>
Dạng bài tập này yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để giải các bài toán cực trị trong thực tế. Các bài toán này thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng nào đó.
Ví dụ: Một người muốn xây một cái chuồng hình chữ nhật có diện tích là 100 $m^2$. Hỏi chu vi nhỏ nhất của chuồng là bao nhiêu?
Gọi chiều dài và chiều rộng của chuồng lần lượt là $x$ và $y$. Ta có:
$$xy = 100$$
Chu vi của chuồng là:
$$P = 2(x + y)$$
Từ $xy = 100$, ta có $y = \frac{100}{x}$. Thay vào biểu thức của $P$, ta được:
$$P = 2(x + \frac{100}{x})$$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$x + \frac{100}{x} \ge 2\sqrt{x.\frac{100}{x}} = 20$$
Dấu "=" xảy ra khi $x = \frac{100}{x} \Leftrightarrow x = 10$.
Vậy chu vi nhỏ nhất của chuồng là $P = 2(10 + 10) = 40$ mét.
<h2 style="font-weight: bold; margin: 12px 0;">Kết luận</h2>
Bài viết đã phân tích chi tiết các dạng bài tập đạo hàm thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc gia. Hiểu rõ các dạng bài tập này, nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản và phương pháp giải hiệu quả sẽ giúp các em tự tin hơn khi bước vào kỳ thi. Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi!
