Tìm nguyên hàm của hàm số và giá trị thỏa mãn điều kiện

Để tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$ thỏa mãn $F(5)=7$, chúng ta sẽ giải bài toán theo các bước sau: Bước 1: Tính nguyên hàm của hàm số $f(x)$ Để tính nguyên hàm của hàm số $f(x)$, ta sử dụng quy tắc tích phân của hàm nguyên. Với $f(x)=\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$, chúng ta có: $$F(x) = \int \frac{2}{\sqrt{2x-1}} dx$$ Bước 2: Giải tích phân để tìm $F(x)$ Thực hiện tích phân $\int \frac{2}{\sqrt{2x-1}} dx$: $$F(x) = 2\int \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx$$ Đặt $u = 2x-1$, suy ra $du = 2dx$. Khi đó, ta có: $$F(x) = 2\int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2} = 2\int u^{-\frac{1}{2}} du = 2 \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C = 4\sqrt{2x-1} + C$$ Bước 3: Áp dụng điều kiện $F(5)=7$ để tìm hằng số $C$ Với $F(5)=7$, ta thay $x=5$ vào công thức $F(x)$: $$4\sqrt{2 \cdot 5 - 1} + C = 7$$ $$4\sqrt{9} + C = 7$$ $$4 \cdot 3 + C = 7$$ $$12 + C = 7$$ $$C = 7 - 12 = -5$$ Vậy, nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$ thỏa mãn $F(5)=7$ là: $$F(x) = 4\sqrt{2x-1} - 5$$ Do đó, đáp án chính xác là: D $F(x)=2\sqrt{2x-1}$