Tính góc và chu vi của tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), chúng ta có tam giác \(ABC\) với các đỉnh \(A(-1;-1)\), \(B(3;1)\) và \(C(6;0)\). Bài toán yêu cầu chúng ta tính góc \(B\) của tam giác \(ABC\) và chu vi của tam giác đó. Để tính góc \(B\), chúng ta sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ. Đầu tiên, chúng ta cần tính hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\). Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) có các thành phần \(x\) và \(y\) lần lượt là \(3 - (-1) = 4\) và \(1 - (-1) = 2\). Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) có các thành phần \(x\) và \(y\) lần lượt là \(6 - 3 = 3\) và \(0 - 1 = -1\). Tiếp theo, chúng ta tính tích vô hướng của hai vectơ này bằng cách nhân các thành phần tương ứng của chúng và cộng lại: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (4)(3) + (2)(-1) = 12 - 2 = 10\). Sau đó, chúng ta tính độ dài của hai vectơ: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(4)^2 + (2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\). Cuối cùng, chúng ta tính góc \(B\) bằng cách sử dụng công thức: \(\cos B = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}\). Thay các giá trị đã tính vào công thức, ta có: \(\cos B = \frac{10}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{2\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{10}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Do đó, góc \(B\) có cosin bằng \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Từ đó, ta có thể suy ra góc \(B\) bằng \(45^\circ\). Để tính chu vi của tam giác \(ABC\), chúng ta sử dụng công thức chu vi tam giác: \(P = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{CA}|\). Thay các giá trị đã tính vào công thức, ta có: \(P = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{20}\). Tuy nhiên, để đơn giản hóa kết quả, chúng ta có thể rút gọn các căn bậc hai: \(P = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5} + \sqrt{10}\). Vậy chu vi của tam giác \(ABC\) là \(4\sqrt{5} + \sqrt{10}\). Tóm lại, góc \(B\) của tam giác \(ABC\) là \(45^\circ\) và chu vi của tam giác đó là \(4\sqrt{5} + \sqrt{10}\).