Định lý giới hạn: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)

Trong toán học, định lý giới hạn là một khái niệm quan trọng và được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Một trong những định lý giới hạn quan trọng nhất là định lý giới hạn của hàm số \( \frac{\sin x}{x} \) khi \( x \) tiến đến 0, tức là \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \). Định lý này có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị của hàm số khi x gần đến 0. Khi x tiến đến 0, hàm số \( \frac{\sin x}{x} \) cũng tiến đến 1. Điều này có ý nghĩa rằng giá trị của hàm số này gần như bằng 1 khi x gần đến 0. Để chứng minh định lý này, chúng ta có thể sử dụng phép biến đổi l'Hôpital. Theo phép biến đổi này, ta có thể tính giới hạn của hàm số \( \frac{\sin x}{x} \) bằng cách tính giới hạn của đạo hàm của hàm số này. Áp dụng phép biến đổi l'Hôpital, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 \) Do đó, ta có thể kết luận rằng \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \). Định lý giới hạn này có ứng dụng rất rộng trong các bài toán thực tế và trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Nó giúp chúng ta xác định giá trị của hàm số khi x gần đến 0 và có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Tóm lại, định lý giới hạn \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \) là một định lý quan trọng trong toán học và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Nó giúp chúng ta xác định giá trị của hàm số khi x gần đến 0 và có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán thực tế.