Chứng minh và tìm giá trị của m trong phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt và tìm giá trị của m trong một phương trình bậc hai cụ thể. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét phương trình \(x^2 + mx - 3 = 0\). Để chứng minh rằng phương trình này có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m, chúng ta sẽ sử dụng định lý delta. Định lý delta cho phép chúng ta xác định số nghiệm của phương trình bậc hai dựa trên giá trị của delta, được tính bằng công thức \(\Delta = b^2 - 4ac\). Ở đây, a = 1, b = m và c = -3. Thay vào công thức delta, ta có \(\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot -3 = m^2 + 12\). Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần \(\Delta > 0\). Tức là \(m^2 + 12 > 0\). Điều này đúng với mọi giá trị của m, vì \(m^2\) luôn không âm và 12 cũng không âm. Do đó, phương trình \(x^2 + mx - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị của m để \(\left|x_1\right| + \left|x_2\right| = 4\), trong đó \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình \(x^2 + mx - 3 = 0\). Để làm điều này, chúng ta cần biết công thức viết lại tổng và tích của nghiệm của phương trình bậc hai dựa trên hệ số của phương trình. Công thức viết lại tổng và tích của nghiệm của phương trình bậc hai là: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) Ở đây, a = 1, b = m và c = -3. Thay vào công thức, ta có: \(x_1 + x_2 = -\frac{m}{1} = -m\) và \(x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{1} = -3\) Vì \(\left|x_1\right| + \left|x_2\right| = 4\), ta có hai trường hợp: 1. Nếu cả \(x_1\) và \(x_2\) đều dương, ta có \(x_1 + x_2 = -m > 0\). Từ đó suy ra \(m < 0\). Đồng thời, \(x_1 \cdot x_2 = -3 > 0\), nghĩa là cả hai nghiệm đều dương. Vì vậy, ta có \(m < 0\) và \(x_1 > 0\), \(x_2 > 0\). 2. Nếu cả \(x_1\) và \(x_2\) đều âm, ta có \(x_1 + x_2 = -m < 0\). Từ đó suy ra \(m > 0\). Đồng thời, \(x_1 \cdot x_2 = -3 > 0\), nghĩa là cả hai nghiệm đều âm. Vì vậy, ta có \(m > 0\) và \(x_1 < 0\), \(x_2 < 0\). Tóm lại, để \(\left|x_1\right| + \left|x_2\right| = 4\), ta cần tìm giá trị của m sao cho \(m < 0\) hoặc \(m > 0\).