Giải phương trình vi phân bậc hai

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình vi phân bậc hai có dạng $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{21}$ với các điều kiện ban đầu $y(0)=-3$ và $y^{\prime}(0)=5$. Phương trình vi phân bậc hai là một công cụ quan trọng trong toán học và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đầu tiên, chúng ta cần xác định hàm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân bậc hai này. Để làm điều này, ta giả sử rằng hàm nghiệm có dạng $y=e^{rt}$, với $r$ là một số phức. Thay hàm nghiệm này vào phương trình ban đầu, ta có: \[ r^{2} e^{rt}-3 r e^{rt}+2 e^{rt}=4 e^{21} \] Simplifying the equation, we get: \[ r^{2}-3 r+2=4 e^{21-t} \] Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt $u=r-1$. Khi đó, phương trình trở thành: \[ u^{2}-u=4 e^{21-t} \] Tiếp theo, ta sử dụng phương pháp đặt $v=e^{21-t}$. Khi đó, phương trình trở thành: \[ u^{2}-u=4 v \] Đây là một phương trình bậc nhất đối với $u$. Giải phương trình này, ta tìm được giá trị của $u$ và sau đó tính lại giá trị của $r$. Sau khi tìm được giá trị của $r$, ta sử dụng phương trình $y=e^{rt}$ để tìm hàm nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu. Tuy nhiên, để xác định hàm nghiệm cụ thể, chúng ta cần sử dụng các điều kiện ban đầu $y(0)=-3$ và $y^{\prime}(0)=5$. Thay các giá trị này vào hàm nghiệm tổng quát, ta có thể tìm được hàm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân bậc hai. Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu cách giải phương trình vi phân bậc hai có dạng $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{21}$ với các điều kiện ban đầu $y(0)=-3$ và $y^{\prime}(0)=5$. Phương trình vi phân bậc hai là một công cụ quan trọng trong toán học và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.