Chứng minh \( A M \perp B D \) trong tam giác \( A B C \)

Trong bài toán này, chúng ta được cho tam giác \( A B C \) với \( A B = 2 \), \( A C = 3 \) và \( \widehat{B A C} = 60^{\circ} \). Chúng ta cần chứng minh rằng \( A M \perp B D \), trong đó \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( B C \) và \( D \) là một điểm trên \( A C \) thoả mãn \( \overrightarrow{A D} = \frac{7}{12} \overrightarrow{A C} \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau đây: a) Tính \( \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} \): Để tính tích vô hướng của hai vector \( \overrightarrow{A B} \) và \( \overrightarrow{A C} \), chúng ta sử dụng công thức \( \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = \left| \overrightarrow{A B} \right| \left| \overrightarrow{A C} \right| \cos \theta \), trong đó \( \theta \) là góc giữa hai vector. Với \( \left| \overrightarrow{A B} \right| = 2 \) và \( \left| \overrightarrow{A C} \right| = 3 \), ta có \( \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} = 2 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \). b) Biểu diễn \( \overrightarrow{A M} \) và \( \overrightarrow{B D} \) theo \( \overrightarrow{A B} \) và \( \overrightarrow{A C} \): Để biểu diễn \( \overrightarrow{A M} \) và \( \overrightarrow{B D} \) theo \( \overrightarrow{A B} \) và \( \overrightarrow{A C} \), chúng ta sử dụng công thức \( \overrightarrow{A M} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \) và \( \overrightarrow{B D} = \frac{7}{12} \overrightarrow{A C} - \overrightarrow{A D} \). c) Chứng minh \( A M \perp B D \): Để chứng minh \( A M \perp B D \), chúng ta cần chứng minh rằng tích vô hướng của \( \overrightarrow{A M} \) và \( \overrightarrow{B D} \) bằng 0. Thay các giá trị đã biết vào công thức, ta có: \( \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B D} = \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} + \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \right) \cdot \left( \frac{7}{12} \overrightarrow{A C} - \overrightarrow{A D} \right) \) \( = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D} + \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12} \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A C} - \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D} \) \( = \frac{7}{24} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{7}{24} \cdot 3 - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{12} \cdot 3 \) \( = \frac{7}{8