Các bài toán về cấp số cộng và cấp số nhân

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các bài toán liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân. Chúng ta sẽ giải quyết các câu hỏi từ câu 9 đến câu 12 trong đề bài. Câu 9 yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \(u_5\) trong một cấp số cộng có \(u_1 = 4\) và \(u_2 = 1\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \(u_n = u_1 + (n-1)d\), trong đó \(d\) là công sai. Áp dụng công thức này, ta có \(u_5 = 4 + (5-1)d = 4 + 4d\). Từ đề bài, ta biết \(u_2 = 1\), vậy ta có thể tính được công sai \(d\). Thay \(u_2 = 1\) vào công thức, ta có \(1 = 4 + d\), từ đó suy ra \(d = -3\). Thay \(d = -3\) vào công thức \(u_5 = 4 + 4d\), ta có \(u_5 = 4 + 4(-3) = -8\). Vậy giá trị của \(u_5\) là -8. Câu 10 yêu cầu chúng ta xác định dãy số nào là một cấp số nhân. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét các dãy số và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện của cấp số nhân hay không. Trong các dãy số được đưa ra, chỉ có dãy số B \(2; 2; 2; 2; 2; 2\) thỏa mãn điều kiện của cấp số nhân, vì tất cả các số trong dãy đều bằng nhau. Vậy đáp án cho câu 10 là dãy số B. Câu 11 yêu cầu chúng ta xác định số hàng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của một cấp số cộng có \(u_9 = 5u_2\) và \(u_{13} = 2u_6 + 5\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng hệ thức \(u_n = u_1 + (n-1)d\) và giải hệ phương trình từ hai phương trình đã cho. Từ \(u_9 = 5u_2\), ta có \(u_1 + 8d = 5(u_1 + d)\), từ đó suy ra \(4d = 4u_1\), hay \(d = u_1\). Từ \(u_{13} = 2u_6 + 5\), ta có \(u_1 + 12d = 2(u_1 + 5d)\), từ đó suy ra \(2d = u_1\). Từ hai phương trình này, ta có thể giải được \(d\) và \(u_1\). Thay \(d = u_1\) vào phương trình \(4d = 4u_1\), ta có \(4u_1 = 4u_1\), vậy phương trình này đúng với mọi giá trị của \(u_1\). Vậy chúng ta không thể xác định được giá trị cụ thể của \(u_1\) và \(d\). Đáp án cho câu 11 là không xác định. Câu 12 yêu cầu chúng ta tính tổng 16 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng có \(u_4 = -12\) và \(u_{14} = 18\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \(S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)\), trong đó \(S_n\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên, \(u_1\) là số hàng đầu, và \(u_n\) là số hàng thứ \(n\). Áp dụng công thức này, ta có \(S_{16} = \frac{16}{2}(-12 + 18) = 8 \times 6 = 48\). Vậy tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là 48. Tóm lại, chúng ta đã giải quyết các câu hỏi từ câu 9 đến câu 12 trong đề bài. Chúng ta đã tìm được giá trị của \(u_5\), xác định dãy số là cấp số nhân, không thể xác định được giá trị của \(u_1\) và \(d\) trong câu 11, và tính được tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng trong câu 12.