Tính giá trị của S trong dãy số \( \left(a_{n}\right):\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 ; a_{2}=\frac{3}{7} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2}-a_{n-1}}, \forall n \geq 3\end{array}\right. \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về dãy số \( \left(a_{n}\right):\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 ; a_{2}=\frac{3}{7} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2}-a_{n-1}}, \forall n \geq 3\end{array}\right. \) và tính giá trị của \( S=p+q \), trong đó \( a_{2021}=\frac{p}{q} \) với \( p, q \in \mathbb{Z}^{+},(p ; q)=1 \). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc tính toán các giá trị của dãy số \( \left(a_{n}\right) \) từ \( n=1 \) đến \( n=2021 \). Đầu tiên, ta có \( a_{1}=1 \) và \( a_{2}=\frac{3}{7} \). Tiếp theo, ta sử dụng công thức đệ quy \( a_{n}=\frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2}-a_{n-1}} \) để tính toán các giá trị tiếp theo của dãy số. Sau khi tính toán, ta thu được giá trị của \( a_{2021} \) là một phân số \( \frac{p}{q} \). Để tính giá trị của \( S=p+q \), ta cần tìm giá trị của \( p \) và \( q \). Điều kiện \( (p ; q)=1 \) cho thấy rằng \( p \) và \( q \) không có ước chung ngoài 1. Cuối cùng, ta tính tổng \( S=p+q \) để tìm giá trị cuối cùng của bài toán. Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về dãy số \( \left(a_{n}\right):\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1 ; a_{2}=\frac{3}{7} \\ a_{n}=\frac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2 a_{n-2}-a_{n-1}}, \forall n \geq 3\end{array}\right. \) và tính giá trị của \( S=p+q \), trong đó \( a_{2021}=\frac{p}{q} \) với \( p, q \in \mathbb{Z}^{+},(p ; q)=1 \).