Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến và có hai điểm cực trị cùng dấu

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm các giá trị của tham số m để hàm số \( y=x^{3}+x^{2}+m x+1 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và có hai điểm cực trị cùng dấu. Phần đầu tiên: Tìm các giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) Để hàm số \( y=x^{3}+x^{2}+m x+1 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta phải xét đạo hàm của hàm số. Đạo hàm của hàm số là \( y'=3x^{2}+2x+m \). Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần xét dấu của \( y' \). Điều này có nghĩa là ta phải tìm các giá trị nguyên của m sao cho \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. Để giải phương trình này, ta cần xét trường hợp: - Khi \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x: + Khi \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với x < 0: * Nếu a > 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. * Nếu a < 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. + Khi \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với x > 0: * Nếu a > 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. * Nếu a < 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. - Khi \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x: + Khi \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với x < 0: * Nếu a > 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. * Nếu a < 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. + Khi \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với x > 0: * Nếu a > 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. * Nếu a < 0, ta có: \( 3x^{2}+2x+m > 0 \) với mọi giá trị của x. Phần thứ hai: Tìm giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu Để hàm số \( y=x^{3}+x^{2}+m x+1 \) có hai điểm cực trị cùng dấu, ta cần xét dấu của \( y'' \). Đạo hàm hai của hàm số là \( y''=6x+2 \). Để hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu, ta cần xét dấu của \( y'' \) tại hai điểm cực trị. Điều này có nghĩa là ta phải tìm giá trị của m sao cho \( 6x+2 > 0 \) với mọi giá trị của x tại hai điểm cực trị. Để giải phương trình này, ta cần xét trường hợp: - Khi \( 6x+2 > 0 \) với x < 0: + Nếu a > 0, ta có: \( 6x+2 > 0 \) với mọi giá trị của x. + Nếu a < 0, ta có: \( 6x+2 > 0 \) với mọi giá trị của x. - Khi \( 6x+2 > 0 \) với x > 0: + Nếu a > 0, ta có: \( 6x+2 > 0 \) với mọi giá trị của x. + Nếu a < 0, ta có: \( 6x+2 > 0 \) với mọi giá trị của x. Kết luận: Chúng ta đã tìm được các giá trị của tham số m để hàm số \( y=x^{3}+x^{2}+m x+1 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và có hai điểm cực trị cùng dấu. Các giá trị của m được xác định bằng cách xét dấu của \( y' \) và \( y'' \) tại các điểm xác định.