Chứng minh các tính chất của tam giác vuông và đường tròn

Trong bài toán này, chúng ta được cho tam giác vuông \( \mathrm{ABC} \) với đỉnh vuông góc tại \( \mathrm{A} \). Đường tròn \( (\mathrm{O}) \) có đường kính \( \mathrm{AC} \) cắt \( \mathrm{BC} \) tại điểm \( \mathrm{K} \). Chúng ta cần chứng minh các tính chất sau đây: 1) Bốn điểm \( \mathrm{B}, \mathrm{K}, \mathrm{H}, \mathrm{A} \) cùng thuộc một đường tròn. 2) \( \mathrm{BD} \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (\mathrm{O}) \). 3) \( \mathrm{BH} \cdot \mathrm{BO} = \mathrm{BK} \cdot \mathrm{BC} \). Để chứng minh tính chất thứ nhất, ta sử dụng tính chất của góc vuông và góc nội tiếp. Vì tam giác \( \mathrm{ABC} \) là tam giác vuông tại \( \mathrm{A} \), nên góc \( \mathrm{BAC} \) là góc vuông. Do đó, góc \( \mathrm{BKC} \) cũng là góc vuông. Vì \( \mathrm{BK} \) là đường kính của đường tròn \( (\mathrm{O}) \), nên \( \mathrm{BK} \) cắt \( \mathrm{AC} \) tại điểm \( \mathrm{D} \) sao cho \( \mathrm{BD} \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (\mathrm{O}) \). Khi đó, ta có \( \angle \mathrm{BDA} = 90^\circ \). Từ đó, ta suy ra rằng \( \mathrm{B}, \mathrm{K}, \mathrm{H}, \mathrm{A} \) cùng thuộc một đường tròn. Để chứng minh tính chất thứ hai, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp. Vì \( \mathrm{BD} \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (\mathrm{O}) \), nên góc \( \mathrm{BDA} \) là góc nội tiếp của đường tròn. Do đó, góc \( \mathrm{BDA} \) bằng một nửa góc \( \mathrm{BOA} \). Nhưng góc \( \mathrm{BOA} \) là góc vuông, nên góc \( \mathrm{BDA} \) cũng là góc vuông. Từ đó, ta suy ra rằng \( \mathrm{BD} \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (\mathrm{O}) \). Để chứng minh tính chất thứ ba, ta sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Vì \( \mathrm{B}, \mathrm{K}, \mathrm{H}, \mathrm{A} \) cùng thuộc một đường tròn, nên ta có \( \angle \mathrm{BHA} = \angle \mathrm{BKA} \). Từ đó, ta suy ra rằng \( \triangle \mathrm{BHA} \sim \triangle \mathrm{BKA} \). Vì vậy, ta có \( \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BK}} = \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BA}} = 1 \). Nhưng \( \mathrm{BK} \) là đường kính của đường tròn \( (\mathrm{O}) \), nên \( \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BK}} = \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{BC}} \). Từ đó, ta suy ra rằng \( \mathrm{BH} \cdot \mathrm{BO} = \mathrm{BK} \cdot \mathrm{BC} \). Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng các tính chất của tam giác vuông và đường tròn đã được chứng minh đúng.