Ôn tập Giải tích 1 (11/2023)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ ôn tập và giải quyết một số bài tập về giải tích cấp 1 và cấp 2. Chúng ta sẽ tìm hiểu về vi phân cấp 1 và cấp 2 của các hàm số, tính cực trị của hàm số, tính đạo hàm cấp cao, và tính các giới hạn. Cuối cùng, chúng ta sẽ khám phá và vẽ đồ thị của một số hàm số. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các hàm số và tính vi phân cấp 1 và cấp 2 của chúng. Các hàm số bao gồm \( y=x+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x} \), \( y=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \), \( y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}} \), \( y=x^{\frac{1}{x}} \), \( y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \), và \( y=\log _{3}\left(x^{2}-\sin x\right) \). Chúng ta sẽ tính vi phân cấp 1 và cấp 2 của các hàm số này và tìm cực trị của chúng. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính \( y_{x}^{\prime} \) và \( y_{x x}^{*} \) của các hàm số \( y=f(x) \) cho bởi phương trình tham số. Các phương trình tham số bao gồm \( x=a \cdot \cos t, y=a \cdot \sin t \), \( x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t) \), và \( x=2 t-t^{2}, y=3 t-t^{3} \). Chúng ta sẽ tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của các hàm số này. Sau đó, chúng ta sẽ tìm cực trị của các hàm số \( y=x-\ln (x+1) \) và \( y-\frac{3^{2} x+4 x+4}{x^{2}+x+1} \). Chúng ta sẽ tính đạo hàm cấp cao của các hàm số \( y=x^{2} e^{2 x} \), \( y=\frac{1+x}{\sqrt{1-x}} \), và \( y=x^{2} \sin 2 x \). Tiếp theo, chúng ta sẽ tính các giới hạn của các hàm số. Chúng ta sẽ tính các giới hạn như \( \lim _{x \rightarrow+\infty}(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}) \), \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-b^{x}}{x} \), và \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{\frac{1}{x}}-\cos \frac{1}{x}}{1-\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}} \). Cuối cùng, chúng ta sẽ khám phá và vẽ đồ thị của các hàm số \( y=\frac{\ln x}{x} \) và \( f(x)=\left\{\begin{array}{lc}\sqrt{x} & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{3+x^{2}}{4} & x>1\end{array}\right. \). Chúng ta sẽ khảo sát các đặc điểm của đồ thị và tìm các điểm cực trị. Trong bài viết này, chúng ta đã ôn tập và giải quyết một số bài tập về giải tích cấp 1 và cấp 2. Chúng ta đã tính vi phân cấp 1 và cấp 2 của các hàm số, tìm cực trị của hàm số, tính đạo hàm cấp cao, tính các giới hạn, và khám phá và vẽ đồ thị của các hàm số. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn ôn tập và nắm vững kiến thức về giải tích.