Tìm hiểu về hàm số $y = f(x) = -2x^2 + x - 3$

Hàm số $y = f(x) = -2x^2 + x - 3$ có đồ thị là một đường parabol với đỉnh ở điểm $M(-1, -2)$. Để tìm ra 3 giá trị nguyên âm của $m$ sao cho $f(x) \leq m$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần xem xét đồ thị của hàm số.

Đầu tiên, ta cần xác định giá trị của $f(x)$ khi $x = -1$. Thay giá trị của $x$ vào hàm số, ta có:

$f(-1) = -2(-1)^2 + (-1) - 3 = -2 + (-1) - 3 = -6$

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -6. Do đó, 3 giá trị nguyên âm của $m$ là -6, -5, và -4.

Tiếp theo, ta cần tìm hiểu về điểm cắt của parabol với đường thẳng $y = 2x - 3$. Để làm điều này, ta cần giải hệ phương trình:

$f(x) = 2x - 3$

$-2x^2 + x - 3 = 2x - 3$

$-2x^2 - x = 0$

$-2x(x + 1/2) = 0$

Từ đó, ta có hai giá trị của $x$: $x_1 = 0$ và $x_2 = -1/2$. Do đó, parabol cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1$ và $x_2$.

Cuối cùng, ta cần xem xét tính chất của hàm số trên các khoảng khác nhau. Để làm điều này, ta cần phân tích dấu của đạo hàm của hàm số.

$f'(x) = -4x + 1$

Để tìm ra các khoảng mà hàm số nghịch biến hoặc đồng biến, ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$:

$-4x + 1 = 0$

$-4x = -1$

$x = 1/4$

Từ đó, ta có thể kết luận rằng hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 1/4)$ và đồng biến trên khoảng $(1/4, +\infty)$.

Trong tóm lại, hàm số $y = f(x) = -2x^2 + x - 3$ có các tính chất quan trọng như đường parabol với đỉnh ở điểm $M(-1, -2)$, cắt đường thẳng $y = 2x - 3$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1$ và $x_2$, và nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 1/4)$ và đồng biến trên khoảng $(1/4, +\infty)$.