Giải tích phân: Tính tích phân \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tích phân \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \). Đây là một bài toán giải tích phân đơn giản nhưng đòi hỏi chúng ta áp dụng một số kỹ thuật và công thức để giải quyết. Đầu tiên, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc thay đổi biến số. Đặt \( u = \cos x \), ta có \( d u = -\sin x d x \). Khi đó, tích phân ban đầu có thể được viết lại dưới dạng: \[ \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x = -\int_{1}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân này bằng cách sử dụng công thức tích phân của hàm arc tangent. Công thức này cho phép chúng ta tính tích phân của một hàm có dạng \( \frac{1}{1+x^{2}} \). Áp dụng công thức này, ta có: \[ -\int_{1}^{0} \frac{1}{1+u^{2}} d u = -\left[ \arctan(u) \right]_{1}^{0} = -\left( \arctan(0) - \arctan(1) \right) \] Vì \( \arctan(0) = 0 \) và \( \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \), ta có: \[ -\left( \arctan(0) - \arctan(1) \right) = -\left( 0 - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} \] Vậy kết quả của tích phân \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \) là \( \frac{\pi}{4} \). Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu cách tính tích phân \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x \) bằng cách thay đổi biến số và sử dụng công thức tích phân của hàm arc tangent. Kết quả cuối cùng là \( \frac{\pi}{4} \).