Tìm giới hạn của các biểu thức trong các trường hợp xác định

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các giới hạn của ba biểu thức trong các trường hợp xác định. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét các giới hạn sau đây: 1. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3+x)^{2}-9}{x} \) 2. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-2 x-15} \) 3. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{3}-7 x+6} \) Để tìm giới hạn của mỗi biểu thức, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp tính toán và quy tắc giới hạn. Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét biểu thức thứ nhất. 1. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3+x)^{2}-9}{x} \) Để tính giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia tỷ số. Bằng cách chia tỷ số cho \( x \), ta có: \( \frac{(3+x)^{2}-9}{x} = \frac{x^{2}+6x+9-9}{x} = \frac{x^{2}+6x}{x} = x+6 \) Khi \( x \) tiến đến 0, giá trị của \( x+6 \) cũng tiến đến 6. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là 6. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét biểu thức thứ hai. 2. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-2 x-15} \) Để tính giới hạn này, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp chia tỷ số. Bằng cách chia tỷ số cho \( x \), ta có: \( \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-2 x-15} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x-5)(x+3)} \) Khi \( x \) tiến đến -3, giá trị của tử số và mẫu số đều tiến đến 0. Vì vậy, ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn này. Sau khi áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{(x+3)(x-2)}{(x-5)(x+3)} = \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x-2}{x-5} = \frac{-3-2}{-3-5} = \frac{-5}{-8} = \frac{5}{8} \) Vậy, giới hạn của biểu thức này là \( \frac{5}{8} \). Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét biểu thức thứ ba. 3. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{3}-7 x+6} \) Để tính giới hạn này, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp chia tỷ số. Bằng cách chia tỷ số cho \( x-1 \), ta có: \( \frac{x^{3}-1}{x^{3}-7 x+6} = \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}-6)} \) Khi \( x \) tiến đến 1, giá trị của tử số và mẫu số đều tiến đến 0. Vì vậy, ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giới hạn này. Sau khi áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x^{2}-6)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-6} = \frac{1^{2}+1+1}{1^{2}-6} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5} \) Vậy, giới hạn của biểu thức này là \( -\frac{3}{5} \). Tóm lại, chúng ta đã tìm được giới hạn của ba biểu thức trong các trường hợp xác định như sau: 1. \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(3+x)^{2}-9}{x} = 6 \) 2. \( \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-2 x-15} = \frac{5}{8} \) 3. \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x^{3}-7 x+6} = -\frac{3}{5} \) Các kết quả này có thể được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến giới hạn và tính toán trong toán học.