Tìm hàm \( z=f(x, y) \) cho \( d z=z_{x}^{\prime} d x+z_{y}^{\prime} d y=3 x^{2} \sin y+x^{3} \cos y \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hàm \( z=f(x, y) \) cho phương trình \( d z=z_{x}^{\prime} d x+z_{y}^{\prime} d y=3 x^{2} \sin y+x^{3} \cos y \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân và phân tích đạo hàm riêng. Đầu tiên, chúng ta sẽ tích phân phương trình theo \( x \) để tìm \( z \) theo \( y \). Bằng cách tích phân cả hai phía của phương trình, ta có: \[ \int d z = \int z_{x}^{\prime} d x + \int z_{y}^{\prime} d y \] \[ z = \int z_{x}^{\prime} d x + \int z_{y}^{\prime} d y + C \] Ở đây, \( C \) là hằng số tích phân. Tiếp theo, chúng ta sẽ tích phân \( z_{x}^{\prime} \) theo \( x \) để tìm \( z \) theo \( x \). Bằng cách tích phân cả hai phía của phương trình, ta có: \[ \int z_{x}^{\prime} d x = \int 3 x^{2} \sin y + x^{3} \cos y d x \] \[ z = \int (3 x^{2} \sin y + x^{3} \cos y) d x + \int z_{y}^{\prime} d y + C \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tích phân \( z_{y}^{\prime} \) theo \( y \) để tìm \( z \) cuối cùng. Bằng cách tích phân cả hai phía của phương trình, ta có: \[ \int z_{y}^{\prime} d y = \int \left( \int (3 x^{2} \sin y + x^{3} \cos y) d x \right) d y \] \[ z = \int (3 x^{2} \sin y + x^{3} \cos y) d x + \int \left( \int (3 x^{2} \sin y + x^{3} \cos y) d x \right) d y + C \] Sau khi tích phân và thực hiện các phép tính, ta sẽ có hàm \( z=f(x, y) \) cuối cùng.