Giải phương trình lượng giác $\sqrt{2} - 2\sin(45^\circ - 2x) = 0$ ##

Phương trình lượng giác $\sqrt{2} - 2\sin(45^\circ - 2x) = 0$ có thể được giải bằng cách sắp xếp lại các thành phần và sử dụng các tính chất của hàm sin. Đầu tiên, ta có thể viết lại phương trình như sau: \[ \sqrt{2} = 2\sin(45^\circ - 2x) \] Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(45^\circ - 2x) \] Ta biết rằng \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), do đó phương trình trở thành: \[ \sin(45^\circ - 2x) = \sin 45^\circ \] Điều này chứng tỏ rằng phương trình tương đương với: \[ \sin(45^\circ - 2x) = \sin 45^\circ \] ### Đồ thị hàm số Hàm số \( y = \sqrt{2} - 2\sin(45^\circ - 2x) \) cắt trục hoành tại điểm gốc tọa độ khi \( y = 0 \). Thay \( y = 0 \) vào phương trình, ta có: \[ \sqrt{2} - 2\sin(45^\circ - 2x) = 0 \] Điều này tương đương với: \[ 2\sin(45^\circ - 2x) = \sqrt{2} \] Chia cả hai vế cho 2, ta được: \[ \sin(45^\circ - 2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, phương trình có nghiệm khi: \[ 45^\circ - 2x = 45^\circ + 360^\circ k \quad \text{và} \quad 45^\circ - 2x = 135^\circ + 360^\circ k \] Với \( k \) là số nguyên. Giải phương trình này, ta thu được nghiệm: \[ x = -45^\circ - 180^\circ k \quad \text{và} \quad x = -45^\circ - 90^\circ k \] ### Nghiệm trên khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) Để tìm nghiệm trên khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\), ta giải phương trình: \[ \sin(45^\circ - 2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Điều này tương đương với: \[ 45^\circ - 2x = 45^\circ + 360^\circ k \quad \text{và} \quad 45^\circ - 2x = 135^\circ + 360^\circ k \] Giải phương trình này, ta thu được nghiệm: \[ x = -45^\circ - 180^\circ k \quad \text{và} \quad x = -45^\circ - 90^\circ k \] Với \( k \) là số nguyên. Thay các giá trị của \( k \) vào khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\), ta thu được nghiệm duy nhất là: \[ x = -45^\circ \] Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) là \( x = -45^\circ \). ### Kết luận Phương trình lượng giác \(\sqrt{2} - 2\sin(45^\circ - 2x) = 0\) có thể được giải bằng cách sắp xếp lại các thành phần và sử dụng các tính chất của hàm sin. Kết quả cho thấy phương trình tương đương với \(\sin(45^\circ - 2x) = \sin 45^\circ\), và có nghiệm duy nhất trên khoảng \((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) là \( x = -45^\circ \).