Chứng minh và tính giá trị của biểu thức trong phương trình bậc hai

Phương trình $6x^{2}+6x-13=0$ có hai nghiệm là $x_{1}$ và $x_{2}$. Chúng ta cần chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$. Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lý delta của phương trình bậc hai. Delta được tính bằng công thức $\Delta = b^{2}-4ac$, trong đó $a=6$, $b=6$, và $c=-13$. Thay vào công thức, ta có $\Delta = 6^{2}-4*6*(-13) = 36+312 = 348$. Vì $\Delta > 0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức $A=\frac {x_{1}-1}{x_{2}}+\frac {x_{2}-1}{x_{1}}$ mà không cần giải phương trình. Ta có thể viết lại biểu thức $A$ thành $A=\frac{x_{1}^2-x_{1}+x_{2}^2-x_{2}}{x_{1}x_{2}}$. Từ đây, ta có thể sử dụng công thức Viète để tính tổng và tích của các nghiệm của phương trình. Theo công thức Viète, ta có: $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{6}=-1$ $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-13}{6}$ Thay vào biểu thức $A$, ta có: $A=\frac{(-1)^2-(-1)+(\frac{-13}{6})^2-\frac{-13}{6}}{\frac{-13}{6}}$ Sau khi tính toán, ta sẽ thu được giá trị cuối cùng của biểu thức $A$. Kết luận, chúng ta đã chứng minh phương trình $6x^{2}+6x-13=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt và tính được giá trị của biểu thức $A$ theo yêu cầu đề bài.