Mối quan hệ giữa kích thước của hình hộp chữ nhật và diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về mối quan hệ giữa kích thước của một hình hộp chữ nhật và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của nó. Yêu cầu của bài viết là biểu diễn mối quan hệ này dưới dạng biểu thức. Đầu tiên, hãy xem xét hình hộp chữ nhật \(ABCD\) với các cạnh \(AB = a\), \(AD = b\) và \(AA' = c\). Chúng ta cần tìm biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa \(a\), \(b\) và \(c\) khi diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là \(S = 9\pi\). Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể sử dụng một số kiến thức về hình học và đại số. Đầu tiên, chúng ta biết rằng diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là bằng \(4\pi r^2\), trong đó \(r\) là bán kính của mặt cầu. Vì vậy, chúng ta có thể viết: \(4\pi r^2 = 9\pi\) Từ đó, ta có: \(r^2 = \frac{9}{4}\) Tiếp theo, chúng ta cần tìm mối quan hệ giữa \(a\), \(b\) và \(c\) với \(r\). Chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để giải quyết vấn đề này. Trong tam giác vuông \(ABA'\), ta có: \(AB^2 + AA'^2 = A'B'^2\) Thay thế \(AB = a\) và \(AA' = c\), ta có: \(a^2 + c^2 = A'B'^2\) Tương tự, trong tam giác vuông \(ADA'\), ta có: \(AD^2 + AA'^2 = A'D'^2\) Thay thế \(AD = b\) và \(AA' = c\), ta có: \(b^2 + c^2 = A'D'^2\) Vì \(A'B' = A'D'\) (vì đó là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp), ta có thể viết: \(A'B'^2 = A'D'^2\) Từ đó, ta có: \(a^2 + c^2 = b^2 + c^2\) Loại bỏ \(c^2\) từ cả hai phía, ta có: \(a^2 = b^2\) Vì vậy, mối quan hệ giữa \(a\), \(b\) và \(c\) là \(a^2 = b^2\). Từ các phương trình trên, chúng ta có thể kết luận rằng mối quan hệ giữa \(a\), \(b\) và \(c\) khi diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình hộp chữ nhật là \(S = 9\pi\) là \(a^2 = b^2\). Vậy, đáp án đúng cho câu hỏi là A. \(a^2 + b^2 + c^2 = \frac{9}{4}\).