Tìm cực trị của hàm hai biến

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cực trị của hàm hai biến. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét hàm \(z(x, y) = 2x^3 + 2y^3 - 6x - 6y - 7\) và tìm các giá trị của \(x\) và \(y\) khiến hàm này đạt cực trị. Để tìm cực trị của hàm hai biến, chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng của hàm này bằng 0 hoặc không tồn tại. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm riêng theo \(x\) và \(y\) của hàm \(z(x, y)\). Đạo hàm riêng theo \(x\) của hàm \(z(x, y)\) được tính bằng cách lấy đạo hàm của mỗi thành phần theo \(x\) và cộng lại: \[ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = 6x^2 - 6 \] Đạo hàm riêng theo \(y\) của hàm \(z(x, y)\) được tính tương tự: \[ \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = 6y^2 - 6 \] Tiếp theo, chúng ta giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0 để tìm các điểm cực trị. Đối với đạo hàm riêng theo \(x\), ta có: \[ 6x^2 - 6 = 0 \] Simplifying this equation, we get: \[ x^2 - 1 = 0 \] Solving this equation, we find that \(x = -1\) or \(x = 1\). Đối với đạo hàm riêng theo \(y\), ta có: \[ 6y^2 - 6 = 0 \] Simplifying this equation, we get: \[ y^2 - 1 = 0 \] Solving this equation, we find that \(y = -1\) or \(y = 1\). Vậy, các điểm cực trị của hàm \(z(x, y)\) là \((-1, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, -1)\) và \((1, 1)\). Để xác định xem các điểm cực trị này là điểm cực tiểu hay cực đại, chúng ta có thể sử dụng định lý hai biến của Lagrange hoặc kiểm tra đạo hàm riêng thứ hai của hàm \(z(x, y)\). Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta có thể thấy rằng hàm \(z(x, y)\) là một hàm lồi, vì vậy các điểm cực trị sẽ là điểm cực tiểu. Vậy, các giá trị của \(x\) và \(y\) khiến hàm \(z(x, y)\) đạt cực trị là \((-1, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, -1)\) và \((1, 1)\), và đây là các điểm cực tiểu của hàm này. Trên đây là phần chính của bài viết, chúng ta đã tìm hiểu về cực trị của hàm hai biến \(z(x, y) = 2x^3 + 2y^3 - 6x - 6y - 7\). Hy vọng rằng thông tin này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm cực trị và cách tìm cực trị của một hàm hai biến.