Giải phương trình tích phân ba lớp

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải phương trình tích phân ba lớp được cho trong yêu cầu. Phương trình này có dạng: \[ \iiint(x+7z) dxdydz \] với miền tích phân \(\Omega\) được xác định bởi hệ phương trình: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ z = 2 - x^2 - y^2 \\ z = 0 \end{cases} \] Để giải phương trình tích phân này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền tích phân \(\Omega\) Đầu tiên, chúng ta cần xác định miền tích phân \(\Omega\) bằng cách giải hệ phương trình đã cho. Từ phương trình \(z = 2 - x^2 - y^2\), ta có thể thấy rằng miền tích phân \(\Omega\) là một hình tròn trên mặt phẳng \(xy\) với bán kính 1 và nằm trong mặt phẳng \(z = 0\). Vì vậy, miền tích phân \(\Omega\) có thể được biểu diễn như sau: \[ \Omega: x^2 + y^2 \leq 1, z = 0 \] Bước 2: Tính tích phân ba lớp Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân ba lớp \(\iiint(x+7z) dxdydz\) trên miền tích phân \(\Omega\). Đầu tiên, chúng ta sẽ tính tích phân theo trục \(x\). Với \(y\) và \(z\) được giữ cố định, ta có: \[ \int_{-1}^{1} (x+7z) dx \] Tích phân này dễ dàng tính được và kết quả là: \[ \left[ \frac{1}{2}x^2 + 7zx \right]_{-1}^{1} = 2 + 14z \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân theo trục \(y\). Với \(x\) và \(z\) được giữ cố định, ta có: \[ \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (2 + 14z) dy \] Tích phân này cũng dễ dàng tính được và kết quả là: \[ \left[ 2y + 14zy \right]_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} = 4\sqrt{1-x^2} + 28z\sqrt{1-x^2} \] Cuối cùng, chúng ta sẽ tính tích phân theo trục \(z\). Với \(x\) và \(y\) được giữ cố định, ta có: \[ \int_{0}^{2-x^2-y^2} (4\sqrt{1-x^2} + 28z\sqrt{1-x^2}) dz \] Tích phân này cũng dễ dàng tính được và kết quả là: \[ \left[ 4z\sqrt{1-x^2} + 14z^2\sqrt{1-x^2} \right]_{0}^{2-x^2-y^2} = 4(2-x^2-y^2)\sqrt{1-x^2} + 14(2-x^2-y^2)^2\sqrt{1-x^2} \] Bước 3: Kết quả cuối cùng Kết quả cuối cùng của phương trình tích phân ba lớp là: \[ \iiint(x+7z) dxdydz = 4(2-x^2-y^2)\sqrt{1-x^2} + 14