Tìm giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+\sin 3 x}{e^{2 x}-1+x^{2}} \)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+\sin 3 x}{e^{2 x}-1+x^{2}} \). Đây là một bài toán giới hạn trong đại số và giải tích, và chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp phân tích để giải quyết nó. Đầu tiên, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc L'Hôpital để giải quyết giới hạn này. Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+\sin 3 x}{e^{2 x}-1+x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos 2 x+3 \cos 3 x}{2 e^{2 x}+2 x} \) Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc lấy giới hạn khi \( x \rightarrow 0 \). Áp dụng quy tắc này, ta có: \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos 2 x+3 \cos 3 x}{2 e^{2 x}+2 x} = \frac{2 \cos 0+3 \cos 0}{2 e^{0}+0} = \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2} \) Vậy, giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+\sin 3 x}{e^{2 x}-1+x^{2}} \) là \( \frac{5}{2} \). Do đó, đáp án chính xác cho câu hỏi là C. \( \frac{5}{2} \). Trên đây là quá trình giải quyết bài toán giới hạn này. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm giới hạn của một biểu thức trong đại số và giải tích.